La estatua que sirvió para reconstruir la metrología acado-sumeria

Foto: Estatua denominada 'Arquitecto de la regla'. Museo del Louvre.

Mi envía mi estimado amigo Luis Castaño (especialista en metrología histórica) un post para su publicación en Terrae Antiqvae sobre la correcta interpretación (de acuerdo con el canon antropométrico de Leonardo da Vinci por él descubierto) de las medidas que aparecen en una de las 11 estatuas acado-sumerias (denominadas 'estatuas de Gudea', rey de Lagash) halladas en 1878 en el yacimiento de Ngirsu (actual Tel Telloh, en el sur de Irak) por el arqueólogo francés Ernest Choquin Sarzec (en realidad se encontraron hasta un total de 27 estatuas de Gudea, pero 5 de ellas fueron fruto de excavaciones clandestinas en Tel Telloh y otras 11 provienen del mercado del arte y su procedencia no es conocida), y de lo cual se hacía eco el magacín cultural "La Brújula Verde".

Foto: Una de las estatuas de Gudea, rey de Lagash. Museo del Louvre.

                       METROLOGÍA SUMERIA PARA 'TERRAE ANTIQVAE'

Por Luis Castaño Sánchez. Licenciado en Filología. Investigador en Metrología Histórica.

Saludos a todos. Hacía tiempo que no participaba en Terrae Antiqvae, pero este post me anima a ello: 

https://www.labrujulaverde.com/2020/02/el-templo-dentro-de-la-estat...

El artículo habla de una serie de estatuas que representan al rey-arquitecto Gudea de Lagash y nos indica las medidas de algunas de ellas. Acto seguido se centra en la estatua B (llamada el 'Arquitecto del plano' por llevar inscrito el plano de un templo). Y por último da una serie de indicaciones sobre una regla de 269 mm dividida en 16 partes iguales que sitúa en la mencionada estatua llamada 'Arquitecto del plano', pero que en realidad está grabada en otra muy similar llamada 'Arquitecto de la regla'.

Veamos todo esto con cierto detalle.

1/ El 'Arquitecto del plano' y el 'Arquitecto de la regla'

En mi caso particular supe de las esculturas de Gudea ('Arquitecto del plano' y 'Arquitecto de la regla') por la web de Carlos Calvimontes Rojas: https://exapenta.neocities.org/MEDIDAS.html.

Calvimontes estudia ambas estatuas del rey Gudea aplicando el número de oro a las medidas sumerias. Sin embargo, bajo nuestro punto de vista, dicho planteamiento es erróneo ya que las medidas sumerias no se basaban en Phi Φ, sino en un modelo antropométrico: el Hombre.

Foto: Estatua denominada "Arquitecto del plano" (por el plano de un edificio representado en su regazo). Museo del Louvre.

2/ El Hombre

El Sistema de Medidas Antiguo es un sistema antropométrico con unidad central (el Hombre) y toda una serie de unidades inferiores y superiores. Ese modelo humano (que corresponde a una rejilla de 24 Palmas = 96 Dedos = 1’80 m) aparece ya en Sumer y hoy día aún se conserva.

[Nota: Para una explicación rápida del modelo y su recorrido histórico: “Historia de las medidas desde la Prehistoria hasta la actualidad”: https://www.youtube.com/watch?v=A2DNxqZlRiQ].

Ese modelo antropométrico en Palmas y Dedos aparece explicado por escrito en tablillas sumerias (M.A. Powell, Masse und Gewichte in Reallexikon der Assyriologie) y grabado en un patrón sumerio del siglo XXVII a.C. (Patrón de Nippur: Pie 25’65 cm, Codo 45 cm y 3 Dedos 5’4 cm) y, como vamos a ver, está estrechamente relacionado con la regla del 'Arquitecto de la Regla'.

Foto: El codo de Nippur meh. Siglo XXVII a. C., ahora en el Museo arqueológico de Estambul.

3/ La regla del 'Arquitecto de la regla'

Según Calvimontes, en el 'Arquitecto de la regla' aparece grabada una regla de 26’40 cm dividida en 16 partes iguales. Esta regla ha sido denominada “Pie de Gudea”, y como tal aparece en el cuadro de medidas de Rolf C. A. Rottlander, un gran especialista en Metrología Histórica.

Sin embargo, esa regla no es un Pie, sino una representación del modelo humano completo. Cada una de esas 16 divisiones representa a 6 Dedos, y así tenemos 16 x 6 Dedos = 96 Dedos. Pero por si todo esto fuera poco la regla está hecha aplicando otra medida sumeria: el Su-shi.

Detalle de la estatua 'Arquitecto de la regla', en la que puede apreciarse en su regazo una varilla-regla (en sentido horizontal) a la que acompaña un punzón (sentido vertical) a la izquierda.

 4/ Medidas sumerias: Ubanu y Su-shi

Este artículo sobre medidas sumerias (http://adsabs.harvard.edu/full/1919Obs....42...46.) cita dos unidades fundamentales: el Ubanu y el Su-shi. El Ubanu corresponde al Dedo (1’8 cm) y el Su-shi a 2/3 de Pulgada. Según otros textos 1 Pulgada = 1 Dedo + 1/3 = 2’4 cm, de modo que el Su-shi corresponde a 1’6 cm. La regla mide un total de 16 Su-shi x 1’6(50) cm = 26’40 cm.

5/ Las estatuas

Para terminar, y volviendo a las medidas que el artículo ofrece para las diferentes estatuas, la más pequeña (18 cm) podría corresponder a 10 Dedos x 1’8 cm = 18 cm, y la más alta (157 cm) podría corresponder a 21 Palmas x 7’5 cm = 157’50 cm.

Y eso es todo. Muchas gracias por su interés.

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Comentario por Carlos Calvimontes Rojas el marzo 5, 2021 a las 5:41pm

Sobre LA ESTATUA QUE SIRVIÓ PARA RECONSTRUIR LA METROLOGÍA ACADO-SUMERIA de Luis Castaño y otras obras suyas.

En su introducción Castaño dice que se propone «descubrir confusiones terminológicas habituales y planteamientos, muy frecuentes, que derivan de fuentes equivocadas.»

Y en la presentación de su trabajo dice que «...se centra en la estatua B (llamada el 'Arquitecto del plano' por llevar inscrito el plano de un templo). Y por último da una serie de indicaciones sobre una regla… que sitúa en la mencionada estatua…, pero que en realidad está grabada en otra muy similar llamada 'Arquitecto de la regla'.» La única similitud es que se trata de dos reglas pero su graduación es totalmente diferente aunque en cada caso con importancia para conocer la geometría de esa remota antigüedad.

En lo descrito en detalle en https://exapenta.neocities.org/MEDIDAS.html , aunque le falta un pedazo la regla de la escultura del Arquitecto del Plano —por la progresión de su graduación visible con criterio sexagesimal— muestra valores de la medida Qanu [según mis estudios y denominación] del sistema de medidas de longitud de esa época denominado pF En otro lado de esa regla existen marcas correspondientes a las de un triángulo rectángulo con lados 5, 12 y 13, para demostrar la solución de ese tipo de triángulos sin el empleo de raíces cuadradas que se conocía y aplicaba desde la antigüedad en trabajos de construcción de diversa naturaleza. Ver https://exapenta.neocities.org/TRIANGULOS-RECTANGULOS.html

En cambio, en un borde la regla en la escultura del Arquitecto con Regla hay 16 divisiones iguales, que representan un igual número de veces también a la medida Qanu de la Serie pF [según mis estudios y denominación], en escala 1:100. En el otro borde existen marcas que señalan magnitudes proporcionales de 11,5 y 4,5. Si la primera de esas magnitudes se iguala a F, la segunda seria el inverso de la mitad de un p de 3,15. Otra interpretación, que no perjudica a la primera, es que la longitud 4,5 representa a la medida Qanu de la Serie pF, en escala 1:36 adecuada al sistema sexagesimal prevalente en esa época.

Castaño señala que mi planteamiento que aplica el Número de Oro para mostrar las características de las medidas sumerias «es erróneo ya que las medidas sumerias no se basaban en F, sino en un modelo antropométrico: el Hombre.» Y eso, precisamente, me da la razón; cuando se concibieron esas medidas se tomó como base las proporciones antropométricas y estás, como muy bien se sabe, están determinadas por el canon de la armonía que es el Número de Oro, tan presente en cada parte del cuerpo humano y en su totalidad.

Es de la mayor importancia que se tome en cuenta que las proporciones antropométricas y lo que se derive de ellas, por caso en los sistemas de medida de la antigüedad, por definirse por el Número de Oro tendrán valores en ‘números irracionales’ y, por lo tanto, no se puede pretender la exactitud que se expresa con los ‘números racionales’. Por otra parte se aconseja interpretar cada acontecimiento de cualquier época en su contexto cultural.

Para evitar precipitadas aseveraciones es conveniente leer detenidamente lo que expongo en: https://exapenta.neocities.org/MEDIDAS.html Con su detenido estudio se puede comprobar la coherencia de su contenido, empezando en la evidencia del sistema sexagesimal en las escalas de las series que he explicado, sin valerme de lo que otros investigadores hayan realizado en ese ámbito, en un planteamiento original en todo su alcance.

Castaño en su obra METROLOGÍA HISTÓRICA: UNA NUEVA PROPUESTA se refiere al «…estudio sobre modelos humanos y… la posible existencia de un canon original» y más adelante señala que el « modelo de Leonardo… ayudará a tener presente que las unidades antropométricas tienen origen en cuerpos reales». Efectivamente es así, la figura del hombre en su totalidad y en sus partes es el paradigma de la presencia de la Sección Áurea (Numero de Oro más uno, F +1); esas ‘unidades antropométricas’ se definen con el Canon de la Armonía.

Como dijo Protágoras (c. 485 a. C.- c. 411 a. C.) « El hombre es la medida de todas las cosas», sentencia que también es válida en lo que atañe a las proporciones del cuerpo humano y, por ende, en lo que éstas fueron consideradas en la antigüedad de diferentes culturas para determinar sistemas de medida o el dimensionamiento de obras escultóricas y arquitectónicas, siendo el ‘hombre’ entendido como individuo, como interpreta Goethe «…una única medida común para todos los hombres individuales; una misma forma, compartida por el género humano, para tasar la totalidad de las cosas.»

Sin embargo en esa obra Castaño en el punto 3.3 plantea que mi trabajo sobre las Sección Áurea en el Hombre de Vitruvio es erróneo «en la aplicación de la proporción áurea» cuando, precisamente, él postula que las proporciones antropométricas determinaron sistemas de medidas en civilizaciones de la antigüedad, soslayando que aunque en ellas no se haya definido lo que ahora se conoce como el Número de Oro sí se aplicaban sus proporciones por estar en los mismos hombres que definían esos sistemas.

Es imprescindible que se conozca y reconozca que la “Divina Proporción” —como la nombra y explica Luca Pacioli en su conocida obra— está presente en todo lo que tiene vida y movimiento, que es universal y sus proporciones han sido aplicadas desde tiempos remotos en obras de diversa naturaleza en diferentes culturas de todo el mundo empezando por ser consustancial a la figura del protagonista de la historia: el hombre. Se puede ver: https://exapenta.neocities.org/EGIPTO.html https://exapenta.neocities.org/TIWANAKU.html y https://exapenta.neocities.org/GUDEA.html

Castaño plantea «El análisis de la imagen permite comprobar que, contra lo que suele afirmarse, el ombligo no se sitúa en la sección áurea de la altura sino ligeramente por debajo. Por otra parte, en las notas que acompañan a la imagen, Leonardo no cita la proporción áurea en ningún momento. Así pues nos planteamos qué proporción empleó Leonardo. Y la respuesta parece sencilla: Leonardo Da Vinci debió emplear en su modelo una proporción antropométrica Altura / Ombligo: 180 (=100 dedos de 18 mm) / 109'8 (= 61 dedos de 18 mm) = 1'64 (y no 1'618)»

Por una parte, Castaño no es el primero en señalar «…el que ombligo no se sitúa en la sección áurea…», en https://exapenta.neocities.org/CUADRATA.html donde expreso claramente «...la ubicación del punto que define la Sección Aurea en el ombligo, la diferente localización del centro del círculo…» Además, aunque hay otras versiones sobre el tamaño del documento completo del Hombre de Vitruvio—en la Wikipedia dice 34,4 x 25.5 cm—, si se acepta el que señala Sánchez-Montaña 34,2 x 24,5 cm y a pesar de que el cuadrado no es perfecto y la cuadrícula tampoco, el cuadrado tiene de ancho y altura 18,80…x 18,78… cm y no 18 x 18 cm; con eso, el canon de la altura del hombre que Castaño extrapolaría hacia el pasado tendría otra altura.

En https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vitruvian_Man_by_Leonardo_d... se encuentra la reproducción de mayor tamaño del Hombre de Vitruvio, con 4.386 × 6.233 píxeles; o sea, según lo que señala Sánchez-Montaña el ancho de 4.386 pixeles es equivalente a 24,5 cm que es como a 3.366 pixeles —es a la dimensión horizontal del cuadrado (en promedio, dada la irregularidad de la figura)— igual a 18,80…cm; por su parte, la altura de 6.233 pixeles es equivalentes a 34,4 cm como 3.403 —es a la dimensión vertical del cuadrado (en promedio,…)— igual a 18,78… cm. Si se toma en cuenta las dimensiones que proporciona la Wikipedia: 34,4 cm × 25,5 cm, la altura del cuadrado sería también 18,78…cm; en cambio, el ancho sería igual a 19,56…cm

Es evidente que «Leonardo no cita la proporción áurea en ningún momento». Aunque conocía esa proporción no pudo haberla mencionado con ese nombre en 1492 porque recién cinco años después Luca Pacioli, su amigo y con quien colaboró, empezó a escribir su libro la “De la Divina Proporción”; sin embargo no hacía falta, como escribió la célebre autoridad sobre el Número de Oro, Matila C. Ghyka: «…para las proporciones del cuerpo humano los escultores y pintores griegos habían establecido un canon… cuyos elementos encontramos en Vitruvio y que es transmitido hasta nuestros días por Pacioli, Leonardo…».

A todo lo que tanto se ha dicho sobre el  Hombre de Vitruvio se debe añadir que Leonardo además de señalar las proporciones humanas ocultó en esa figura otra que, al ser decodificada, demuestra la construcción de un circulo de igual área que el cuadrado dibujado, resolviendo el antiguo problema de la ‘cuadratura del círculo’, según su postulado original: “a partir de un circulo construir un cuadrado que tenga la misma superficie, solo con el empleo de un compás y una regla sin graduar». Ver: https://exapenta.neocities.org/CUADRATA.html

Castaño para validar su teoría en relación con los trabajos de los autores cuyos trabajos comenta, desautoriza a: Le Corbusier («…ambos Modulor son antropométricamente incorrectos...»), a Sánchez-Montaña («…por lo que su propuesta es incorrecta.»), a Calvimontes y Piera («…se basan, incorrectamente en la aplicación de la proporción áurea.»), a Leonardo («…parece cometer un error…»), a Vitruvio («…un error de Vitruvio que Leonardo corrige en su modelo.»), a Carmen Bonell («…se trata de un análisis erróneo.»), a García Gallo («…una medida incorrecta… a la que llama erróneamente…»), a Calvimontes («… una interpretación errónea…), a Eckhard Unger («… un error de interpretación.»), a R. Balasubramaniam («…no toma en consideración…»)….

Castaño, en su ponencia al VI Congreso Español de Metrología de 2017  HOMBRE Y MEDIDA: UNA HISTORIA DE LA METROLOGÍA dice « la revisión de los trabajos de Nikolas Balanos sobre la Acrópolis y de Luis Moya sobre el Partenón parecen confirmar que no fue construido empleando el Número de Oro sino medidas humanas.» En esa reiteración de su posición Castaño desconoce que cuando se está hablando de medidas humanas, es decir de las proporciones humanas, es taxativo que se sobrentiende la presencia del Número de Oro, absolutamente inherente al cuerpo humano.

En la parte “Edad Contemporánea” de ese mismo trabajo expuso que a continuación de la Revolución Francesa, se determinó que la medida universal sería el ‘metro’ “la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano” y que la nueva longitud se grabó en un patrón físico que «se conserva hoy en día en el [sic] BIPM de París” (la BIPM es la Oficina Internacional de Pesas y Medidas). Eso ocurrió en 1889 y esa convención ha sido superada en 1960 cuando se adoptó una nueva definición del metro: «1 650 763,73 veces la longitud de onda en el vacío de la radiación naranja del átomo del criptón 86»; con lo cual, lo que afirmó Castaño tiene un desfase de 71 años.

«No hay estudio del hombre que merezca llamarse ciencia si no se basa en la demostración y argumentación matemática. Que nadie se atreva a adentrarse en los fundamentos de mi obra si no es matemático.»

Leonardo da Vinci (1452 – 1519)

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 9:56am

Estimado señor Calvimontes:

Buenas noches. Intentaré responder razonadamente a todos sus comentarios.

1/ Castaño señala que mi planteamiento que aplica el Número de Oro para mostrar las características de las medidas sumerias «es erróneo ya que las medidas sumerias no se basaban en F, sino en un modelo antropométrico: el Hombre.» Y eso, precisamente, me da la razón; cuando se concibieron esas medidas se tomó como base las proporciones antropométricas y estas, como muy bien se sabe, están determinadas por el canon de la armonía que es el Número de Oro, tan presente en cada parte del cuerpo humano y en su totalidad.

Es de la mayor importancia que se tome en cuenta que las proporciones antropométricas y lo que se derive de ellas, por caso en los sistemas de medida de la antigüedad, por definirse por el Número de Oro tendrán valores en ‘números irracionales’ y, por lo tanto, no se puede pretender la exactitud que se expresa con los ‘números racionales’. Por otra parte, se aconseja interpretar cada acontecimiento de cualquier época en su contexto cultural.

R/ Lamento discrepar, pero aquí no se trata de determinar si el número de oro está presente en el cuerpo humano sino de saber si el Hombre, unidad central del antiguo sistema de medidas antropométrico, se basó en el número de oro o no y la respuesta es que no.

El Hombre (24 Palmas = 1.80 m) no se basó en el número de oro (que es un número irracional) sino en una rejilla antropométrica en Palmas y Dedos (con relaciones en números enteros).

Dicho modelo humano, que se transmite históricamente (Sumer > Egipto > Fenicios > Grecia > Roma > Edad Media > Leonardo), existe y aún se conserva actualmente. Es descrito por varios autores antiguos en sus tratados (Herón de Alejandría, Vitruvio) y por Leonardo en las notas de su documento. Estudiando esos textos puede comprobarse que en ninguno de ellos se cita el número de oro. Por el contrario, en todo momento se describe la cuadrícula antropométrica.

2/ Para evitar precipitadas aseveraciones es conveniente leer detenidamente lo que expongo en: https://exapenta.neocities.org/MEDIDAS.html Con su detenido estudio se puede comprobar la coherencia de su contenido, empezando en la evidencia del sistema sexagesimal en las escalas de las series que he explicado, sin valerme de lo que otros investigadores hayan realizado en ese ámbito, en un planteamiento original.

R/ Me gustaría señalar que mis aseveraciones no son en absoluto precipitadas. Obviamente, antes de realizarlas he estudiado detenidamente no sólo ese estudio cuyo enlace ofrece usted (https://exapenta.neocities.org/MEDIDAS.html ) sino sus libros “Presencia del número de oro en la naturaleza y en la obra humana” y “Gudea críptico. El código sumerio”. Asimismo, he estudiado a fondo el libro “Le nombre d’or. Radiographie d’un mythe” de la investigadora francesa Marguerite Neveux quien rebate ese mito de la presencia absoluta del número de oro (mito que eclosiona con Matila Ghyka en 1930) y cuya lectura recomiendo absolutamente.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:00am

3/ Castaño en su obra METROLOGÍA HISTÓRICA: UNA NUEVA PROPUESTA se refiere al «…estudio sobre modelos humanos y… la posible existencia de un canon original» y más adelante señala que el «modelo de Leonardo… ayudará a tener presente que las unidades antropométricas tienen origen en cuerpos reales». Efectivamente es así, la figura del hombre en su totalidad y en sus partes es el paradigma de la presencia de la Sección Áurea (Numero de Oro más uno, F +1); esas ‘unidades antropométricas’ se definen con el Canon de la Armonía.

R/ No. Las unidades del modelo antropométrico (Hombre = 24 Palmas = 1.80 m) no se definen con ayuda del número de oro (que es un número irracional). Dichas unidades están perfectamente explicadas en los tratados de los autores antiguos (Herón, Vitruvio, otros) y se basan en la cuadrícula antropométrica en palmas y Dedos, no en el número de oro.

4/ Como dijo Protágoras (c. 485 a. C.- c. 411 a. C.) « El hombre es la medida de todas las cosas», sentencia que también es válida en lo que atañe a las proporciones del cuerpo humano y, por ende, en lo que éstas fueron consideradas en la antigüedad de diferentes culturas para determinar sistemas de medida o el dimensionamiento de obras escultóricas y arquitectónicas, siendo el ‘hombre’ entendido como individuo, como interpreta Goethe «…una única medida común para todos los hombres individuales; una misma forma, compartida por el género humano, para tasar la totalidad de las cosas.»

R/ Efectivamente el Hombre (el modelo humano ideal) era la unidad central del antiguo sistema de medidas antropométrico. Pero ese modelo no se basa en el número de oro.

5/ Sin embargo en esa obra Castaño en el punto 3.3 plantea que mi trabajo sobre las Sección Áurea en el Hombre de Vitruvio es erróneo «en la aplicación de la proporción áurea» cuando, precisamente, él postula que las proporciones antropométricas determinaron sistemas de medidas en civilizaciones de la antigüedad, soslayando que aunque en ellas no se haya definido lo que ahora se conoce como el Número de Oro sí se aplicaban sus proporciones por estar en los mismos hombres que definían esos sistemas.

R/ Una vez más: NO. El modelo humano no se basa en el número de oro sino en una cuadrícula antropométrica en Palmas y Dedos explicada por escrito por los autores antiguos.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:03am

6/ Es imprescindible que se conozca y reconozca que la “Divina Proporción” —como la nombra y explica Luca Pacioli en su conocida obra— está presente en todo lo que tiene vida y movimiento, que es universal y sus proporciones han sido aplicadas desde tiempos remotos en obras de diversa naturaleza en diferentes culturas de todo el mundo empezando por ser consustancial a la figura del protagonista de la historia: el hombre. Se puede ver: https://exapenta.neocities.org/EGIPTO.html https://exapenta.neocities.org/TIWANAKU.html y https://exapenta.neocities.org/GUDEA.html

R/ Para evitar estos errores sobre la obra de Luca Pacioli remito una vez más al magnífico libro de Marguerite Neveux quien, en su capítulo 1 (Les origines) explica detalladamente qué partes de la obra de Pacioli hablan de los Elementos de Euclides (y de la división en extrema y media razón) y cuáles hablan de De Arquitectura de Vitruvio (y la cuadrícula antropométrica).

Neveux explica también detalladamente cómo, con posterioridad a la obra de Pacioli, se produce una confusión y se llega a creer que esa división en extrema y media razón aparece en el modelo antropométrico cuando no es así. Esa confusión se ha mantenido hasta hoy en día.

Por último, debo asimismo discrepar con respecto a las propuestas de los enlaces facilitados. El número de oro no aparece en Gudea ni tampoco en Egipto. Lo que tenemos en ambos casos (Sumer y Egipto) es la cuadrícula del modelo antropométrico.

En Sumer aparece explicada por escrito en tablillas sumerias y marcada en el patrón de Nippur, conservado en el Museo Arqueológico de Estambul.

En Egipto el modelo humano completo (24 Palmas) aparece grabado en distintas reglas egipcias de 7 Palmas (que aún se conservan en distintos museos).

Para todo esto remito a mis trabajos “Hombre y Medida: Una Historia de la Metrología” y “Sistema de medidas egipcio: Bases teóricas para su estudio”.

7/ Castaño plantea «El análisis de la imagen permite comprobar que, contra lo que suele afirmarse, el ombligo no se sitúa en la sección áurea de la altura sino ligeramente por debajo. Por otra parte, en las notas que acompañan a la imagen, Leonardo no cita la proporción áurea en ningún momento. Así pues, nos planteamos qué proporción empleó Leonardo. Y la respuesta parece sencilla: Leonardo Da Vinci debió emplear en su modelo una proporción antropométrica Altura / Ombligo: 180 (=100 dedos de 18 mm) / 109'8 (= 61 dedos de 18 mm) = 1'64 (y no 1'618)».

R/ Efectivamente, esa es mi propuesta y pude comprobarse estudiando el documento original.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:03am

8/ Por una parte, Castaño no es el primero en señalar «…el que ombligo no se sitúa en la sección áurea…», en https://exapenta.neocities.org/CUADRATA.html donde expreso claramente «...la ubicación del punto que define la Sección Aurea en el ombligo, la diferente localización del centro del círculo…».

R/ Bien, celebro que estemos de acuerdo en esto.

Efectivamente, en contra de lo que suele decirse, en el documento de Leonardo el ombligo no se encuentra en la sección áurea de la altura.

Dicho esto, mi propuesta añade además una explicación para la ubicación del ombligo en el documento así como algunas otras novedades:

Por ejemplo el descubrimiento de que el modelo de Leonardo no es sólo un Canon ideal de proporciones sino también un Canon ideal de medidas.

Por ejemplo el descubrimiento de que ese Canon corresponde a un Hombre de 1.80 metros.

Por ejemplo el descubrimiento de que Leonardo no recuperó correctamente el modelo de Vitruvio, al menos en lo que concierne a la postura circular.

9/ Además, aunque hay otras versiones sobre el tamaño del documento completo del Hombre de Vitruvio—en la Wikipedia dice 34,4 x 25.5 cm—, si se acepta el que señala Sánchez-Montaña 34,2 x 24,5 cm y a pesar de que el cuadrado no es perfecto y la cuadrícula tampoco, el cuadrado tiene de ancho y altura 18,80…x 18,78… cm y no 18 x 18 cm; con eso, el canon de la altura del hombre que Castaño extrapolaría hacia el pasado tendría otra altura.

R/ Para comprobar que las mediciones realizadas por mí en mi facsímil del documento eran correctas me desplacé personalmente a Venecia en 2013 acompañado de una buena amiga para asistir a la exposición Leonardo Da Vinci L’uomo universale. Así que puedo confirmar que el cuadrado mide 18 x 18 cm de lado. Dichos valores fueron confirmados más tarde por Martin Kemp en 2015 y pueden comprobarse en todo momento en el documento original.

En cuanto al valor de 1.80 metros en el pasado resulta que ese valor ya fue indicado para Egipto por Pierre Simon Girard en 1809 y luego ha sido propuesto también por Lepsius (1884), Iversen (1975) y Gros de Beler (2006). Además es el valor que los patrones nos confirman.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:05am

10/ En https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Vitruvian_Man_by_Leonardo_d... se encuentra la reproducción de mayor tamaño del Hombre de Vitruvio, con 4.386 × 6.233 píxeles; o sea, según lo que señala Sánchez-Montaña el ancho de 4.386 pixeles es equivalente a 24,5 cm que es como a 3.366 pixeles —es a la dimensión horizontal del cuadrado (en promedio, dada la irregularidad de la figura)— igual a 18,80…cm; por su parte, la altura de 6.233 pixeles es equivalentes a 34,4 cm como 3.403 —es a la dimensión vertical del cuadrado (en promedio,…)— igual a 18,78… cm. Si se toma en cuenta las dimensiones que proporciona la Wikipedia: 34,4 cm × 25,5 cm, la altura del cuadrado sería también 18,78…cm; en cambio, el ancho sería igual a 19,56…cm

R/ He estudiado el documento original en Venecia en 2013 y el valor de 18 x 18 cm es correcto. Dicho valor fue confirmado más tarde por el señor Martin Kemp en 2015 y puede comprobarse en todo momento acudiendo al documento original, lo cual es mejor que estudiar píxeles.

11/ Es evidente que «Leonardo no cita la proporción áurea en ningún momento». Aunque conocía esa proporción no pudo haberla mencionado con ese nombre en 1492 porque recién cinco años después Luca Pacioli, su amigo y con quien colaboró, empezó a escribir su libro la “De la Divina Proporción”; sin embargo no hacía falta, como escribió la célebre autoridad sobre el Número de Oro, Matila C. Ghyka: «…para las proporciones del cuerpo humano los escultores y pintores griegos habían establecido un canon… cuyos elementos encontramos en Vitruvio y que es transmitido hasta nuestros días por Pacioli, Leonardo…».

R/ Le remito una vez más al magnífico trabajo de Marguerite Neveux sobre el número de oro. En él la investigadora francesa rebate absolutamente los planteamientos de Matila Ghyka.

Por otro lado, puesto que en las notas del documento Leonardo no cita en ningún momento la proporción áurea y en cambio sí cita en todo momento la cuadrícula antropométrica de medidas creo que está claro en qué basó para realizar su gráfico. Él mismo lo indica.

Así que en contra de lo que propone Ghyka lo que se transmite no es el número de oro sino la cuadrícula antropométrica de medidas en Palmas y Dedos del Hombre = 24 Palmas = 1.80 m.

12/ A todo lo que tanto se ha dicho sobre el Hombre de Vitruvio se debe añadir que Leonardo además de señalar las proporciones humanas ocultó en esa figura otra que, al ser decodificada, demuestra la construcción de un circulo de igual área que el cuadrado dibujado, resolviendo el antiguo problema de la ‘cuadratura del círculo’, según su postulado original: “a partir de un circulo construir un cuadrado que tenga la misma superficie, solo con el empleo de un compás y una regla sin graduar». Ver: https://exapenta.neocities.org/CUADRATA.html

R/ Pues no. En su documento Leonardo no está pretendiendo resolver el problema de la cuadratura del círculo ni pretendiendo ocultar nada.

Simplemente está intentando recuperar el modelo de Vitruvio, partiendo (probablemente) de los trabajos previos de Giacomo Andera de Ferrara, a quien conoció y con quien trabajó.

Las notas manuscritas del propio Leonardo son bien claras al respecto. Leonardo comienza citando a Vitruvio y luego pasa a explicar las dos posturas humanas (Hombre en el cuadrado y Hombre en el círculo) que él propone.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:05am

13/ Castaño para validar su teoría en relación con los trabajos de los autores cuyos trabajos comenta, desautoriza a: Le Corbusier («…ambos Modulor son antropométricamente incorrectos...»), a Sánchez-Montaña («…por lo que su propuesta es incorrecta.»), a Calvimontes y Piera («…se basan, incorrectamente en la aplicación de la proporción áurea.»), a Leonardo («…parece cometer un error…»), a Vitruvio («…un error de Vitruvio que Leonardo corrige en su modelo.»), a Carmen Bonell («…se trata de un análisis erróneo.»), a García Gallo («…una medida incorrecta… a la que llama erróneamente…»), a Calvimontes («… una interpretación errónea…), a Eckhard Unger («… un error de interpretación.»), a R. Balasubramaniam («…no toma en consideración…»)….

R/ Pues no. Para validar mi teoría estudio muy a fondo el documento de Leonardo, infinidad de tratados antiguos sobre medidas, muchos trabajos de otros investigadores sobre medidas antiguas e infinidad de patrones físicos de medida históricos que existen y se han conservado.

Con respecto a los autores citados, si bien valoro sus trabajos, considero que sus propuestas no son correctas y así lo señalo, presentando en todo momento argumentos razonados.

Le Corbusier propuso varios Modulor y antropométricamente son menos correctos que el modelo de Leonardo. Sánchez-Montaña extiende la regla de la base del cuadrado y propone una cuadrícula que no coincide con la que aparece marcada en el documento de Leonardo. Calvimontes y Piera se basan en Phi cuando, como ya he indicado en varias ocasiones, el modelo de Leonardo no se basa en Phi sino en una rejilla antropométrica en Palmas y Dedos. Leonardo cometió un error a la hora de recuperar la postura circular descrita por Vitruvio.

En cuanto a Vitruvio en trabajos posteriores he corregido mi apreciación inicial. En un primer momento pensé que Vitruvio cometía un error al proponer un valor de 1/6 para el Pie. Pero posteriormente (mi artículo “Metrología Histórica: Una nueva propuesta” data de 2013 y mi investigación ha continuado desde esa fecha) mi opinión sobre ese punto ha variado. Vitruvio no comete un error. Simplemente hay varios módulos que reciben el nombre de Pie y Vitruvio está hablando del Pie real o filetero de 4 Palmas = 1/6 (Herón), no del Pie natural (1/7).

Carmen Bonell (aquí hablo de memoria) aplica el número de oro; de ahí que considere que su análisis es erróneo. García Gallo propone como medida el Paso (según él 54,32 cm) pero no llega a proponer un modelo humano completo. Eckhard Unger (de nuevo hablo de memoria) propone una interpretación del patrón de Nippur que considero errónea porque no corresponde con los datos recogidos en tablillas sumerias. Por último, con respecto a Balasubramaniam, su trabajo me parece importante pero no aplica ningún modelo humano.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:06am

14/ Castaño, en su ponencia al VI Congreso Español de Metrología de 2017 HOMBRE Y MEDIDA: UNA HISTORIA DE LA METROLOGÍA dice «la revisión de los trabajos de Nikolas Balanos sobre la Acrópolis y de Luis Moya sobre el Partenón parecen confirmar que no fue construido empleando el Número de Oro sino medidas humanas.» En esa reiteración de su posición Castaño desconoce que cuando se está hablando de medidas humanas, es decir de las proporciones humanas, es taxativo que se sobrentiende la presencia del Número de Oro, absolutamente inherente al cuerpo humano.

R/ Pues no. Repite usted una y otra vez que el número de oro está presente en el cuerpo humano y, por tanto, en el Canon. No voy a pronunciarme aquí sobre si el número de oro está presente en el cuerpo humano o no porque es un tema que no me interesa.

Sin embargo, puesto que el Canon existe, aún se conserva actualmente y lo he estudiado muy a fondo durante 10 años, puedo afirmar y afirmo que para establecer dicho Canon NO se empleó el número de oro sino, simple y llanamente, una cuadrícula en palmas y Dedos, cuadrícula que está perfectamente explicada por los autores antiguos en sus tratados.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:07am

15/ En la parte “Edad Contemporánea” de ese mismo trabajo (ponencia al VI Congreso Español de Metrología de 2017 HOMBRE Y MEDIDA: UNA HISTORIA DE LA METROLOGÍA) expuso que a continuación de la Revolución Francesa, se determinó que la medida universal sería el ‘metro’ “la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano” y que la nueva longitud se grabó en un patrón físico que «se conserva hoy en día en el [sic] BIPM de París” (la BIPM es la Oficina Internacional de Pesas y Medidas). Eso ocurrió en 1889 y esa convención ha sido superada en 1960 cuando se adoptó una nueva definición del metro: «1 650 763,73 veces la longitud de onda en el vacío de la radiación naranja del átomo del criptón 86»; con lo cual, lo que afirmó Castaño tiene un desfase de 71 años.

R/ Señor Calvimontes. Ese trabajo es el texto de una ponencia para la que se me asignó un tiempo de 30 minutos. La ponencia debía impartirla en la Jornada de puertas abiertas para la ciudadanía del VI Congreso Español de Metrología. Por tanto, como se me indicó expresamente, debía ser lo más comprensible posible para un público general de modo que para cumplir ese objetivo y realizar un repaso completo de toda la Historia de las medidas desde la Prehistoria hasta el Siglo XXI en media hora decidí dejar de lado ciertos detalles.

Así que no. No se trata de un desfase de 71 años. Se trata de una elección comunicativa.

16/ «No hay estudio del hombre que merezca llamarse ciencia si no se basa en la demostración y argumentación matemática. Que nadie se atreva a adentrarse en los fundamentos de mi obra si no es matemático.» Leonardo da Vinci (1452 – 1519)

R/ Esta cita me parece muy adecuada. Pero ya que en ella Leonardo habla de estudio y de adentrarse en los fundamentos de su obra quizá debió usted precisamente estudiar más profundamente el documento completo de Leonardo.

Porque dicho documento no es sólo un gráfico sino un documento completo con unas notas (en las que Leonardo no habla del número de oro y sí de la cuadrícula antropométrica), un gráfico (cuyo trazado Leonardo explica perfectamente en las notas) y una regla de medidas a los pies del cuadrado (cuadrado que mide 18 x 18 cm y nos ofrece todas las equivalencias de las medidas antropométricas empleadas en la Antigüedad; algo que quizá podría usted haber observado si en lugar de haberse visto usted influenciado por ese mito del número de oro tan extendido desde Matila Ghyka hubiese usted estudiado el documento con mayor profundidad).

Atentamente,

Luis Castaño Sánchez. Licenciado en Filología (UCA, 1992). Investigador en Metrología Histórica.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el marzo 6, 2021 a las 10:08am

PD: Por cierto.

Con respecto a esta observación:

Esa convención (de 1889) ha sido superada en 1960 cuando se adoptó una nueva definición del metro: «1 650 763,73 veces la longitud de onda en el vacío de la radiación naranja del átomo del criptón 86»

me gustaría señalar que la definición de 1960 ha sido a su vez superada por una nueva definición en 1983 y otra en 2018, tal y como se indica en la página del BIPM (Bureau International des Poids et Mesures):

Cette définition fut remplacée en 1983 par la CGPM à sa 17e réunion par une définition fondée sur la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière dans un intervalle de temps spécifique. (…) Afin de mettre en évidence la dépendance de la définition du mètre vis-à-vis de la valeur numérique fixée de la vitesse de la lumière, c, la formulation de la définition du mètre a été modifiée par la CGPM à sa 26e réunion (2018) dans sa Résolution 1.

Traducción:

Esta definición fue reemplazada en 1983 por la CGPM en su 17ª reunión por una definición basada en la longitud del camino recorrido en el vacío por la luz en un intervalo de tiempo específico. (…) Con el fin de resaltar la dependencia de la definición del metro en relación con el valor numérico fijo de la velocidad de la luz, c, la redacción de la definición del metro fue modificada por la CGPM en su 26a reunión (2018) en su Resolución 1.

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