El teorema de Pitágoras explicado por un estudiante babilonio 1.300 años antes

Hace 38 siglos, en las llanuras fluviales de lo que hoy es el sur de Irak, un estudiante de Babilonia hizo un trabajo escolar que cambió la comprensión de las matemáticas antiguas.

El estudiante tomó un trozo de arcilla húmeda, formó un disco del tamaño de una hamburguesa, y dejó que se secara un poco al sol. En la superficie de la arcilla húmeda, el estudiante dibujó un diagrama que demostró que los habitantes del Viejo Período Babilónico (1.900-1.700 antes de Cristo) entendían completamente los principios del "teorema de Pitágoras" 1.300 años antes de que naciera el geómetra griego, y también eran capaces de calcular la raíz cuadrada de dos a seis cifras decimales.

Fuente: Europa Press | Telecinco.es, 12 de abril de 2016

Hoy en día, gracias a Internet y los nuevos métodos de exploración digital que se emplean en la Universidad de Yale, esta lección de geometría antigua sigue siendo utilizada en las aulas modernas de todo el mundo.

"Esta tableta de geometría es uno de los objetos culturales que posee Yale, que más se haya reproducido en libros de texto de matemáticas en todo el mundo", dice el profesor Benjamin Foster, comisario de la Colección de Babilonia, que incluye la tableta. Es también una herramienta de enseñanza popular en las clases de Yale.

La tableta, formalmente conocida como YBC 7289, "Old Babylonian Period Mathematical Text", llegó a la Universidad de Yale en 1909 como parte de una colección mucho mayor de tablillas cuneiformes reunidas por J. Pierpont Morgan y donadas a la Universidad de Yale. En la antigua Medio Oriente, la escritura cuneiforme fue creada mediante el uso de un lápiz afilado a presión en la superficie de una tableta de arcilla blanda para producir impresiones a modo de cuña que representan palabras pictográficas y números. La donación de tabletas y otros artefactos de Morgan formó el núcleo de la colección de Babilonia de Yale, que ahora incorpora 45.000 artículos de los antiguos reinos de Mesopotamia.

Pese a su celebridad, la tableta es un bulto de arcilla frágil que no sobreviviría a la manipulación de rutina en una clase de matemáticas. En la búsqueda de alternativas que pudieran hacer llegar los aspectos más destacados de la colección de Babilonia a un público más amplio, los conservadores de la colección se asociaron con el Instituto de Yale para la preservación del patrimonio cultural (IPCH) para digitalizar este y otros objetos.

El primer paso en el laboratorio fue producir imágenes de transformación de reflectancia (ITR) de catorce objetos de la Colección Babilonia. ITR es una técnica fotográfica que permite a un estudiante o investigador mirar un objeto con muchos diferentes ángulos de iluminación. Eso es particularmente importante para algo así como una tableta cuneiforme, donde hay marcas complejas en 3D incisas en la superficie. Con ITR se puede manipular libremente la iluminación, y ver las variaciones superficiales sutiles que ninguna fotografía ordinaria revelaría.

Además de otros objetos, Chelsea Graham y Yang Ying Yang escanearon con láser la célebre tableta para crear un modelo geométrico tridimensional que se puede girar libremente en pantalla. Los modelos 3D resultantes se pueden combinar con muchos otros tipos de imágenes digitales que los investigadores y los estudiantes una pantalla tableta virtual, y los mismos datos se pueden utilizar para crear un facsímil impreso en 3D que se puede utilizar libremente en el aula, sin riesgo para la delicada original.

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Comentario por Luis Castaño Sánchez el abril 14, 2016 a las 2:33am

PROPUESTA DE EXPLICACIÓN SENCILLA DE LA TABLETA YBC 7289:

SALUDOS A TODOS:

Como algunos foreros saben, tras mi descubrimiento casual del Canon Original en 2011 vengo dedicándome a poner orden en una disciplina tan necesitada de ello como la Metrología Histórica.

A pesar de un total de 33 artículos subidos a www.academia.edu sigue quedando mucho por hacer ya que es un trabajo que desborda con mucho la capacidad de un único investigador y aún no he conseguido dar a conocer mi trabajo entre los especialistas para formar, como sería necesario, un equipo de trabajo multidisciplinar. Espero conseguir dicho objetivo más pronto o más tarde.

Actualmente estoy revisando varios trabajos sobre Egipto (Corinna Rossi, Antoine Pierre Hirsch), Grecia (Luis Moya Blanco, Nicolás Balanos), Edad Media (Werner Heinz) y Edad Contemporánea (Le Corbusier: El Modulor y el Modulor 2) para redactar y subir nuevos artículos sobre el tema.

Pero ayer martes una buena amiga mía me envió por Facebook esta entrada en Terrae sobre la tableta YBC 7289, y como, tras explorarla brevemente, puedo proponer una sencilla explicación de la misma basada en el Canon Original y el Sistema de Medidas Antiguo aprovecho para exponerla aquí sin perjuicio de que en un futuro redacte un nuevo artículo dando forma a estas conclusiones.

PROPUESTA DE EXPLICACIÓN:

Punto 1: KISS:

Tras leer la entrada en Terrae sobre la tableta busqué algo más de información en Internet. Leí otras entradas y varias páginas donde se daban explicaciones matemáticas que personalmente me parecían (y me parecen) excesivamente complicadas. Siguiendo uno de los lemas que me han guiado en mi investigación (KISS = Keep it Simple, Stupid!) me pareció que debía haber una explicación más sencilla, así que decidí dejar de lado los planteamientos que hablaban de raíz de 2 o de complejos cálculos sexagesimales y aplicar el Canon Original y el Sistema de Medidas Antiguo. Decidí suponer que el objetivo de los babilonios debía ser simplemente encontrar una forma sencilla de medir la diagonal del cuadrado empleando unidades enteras y dejarla recogida por escrito.

Punto 2: Dibujando:

Acto seguido, siguiendo las indicaciones de la entrada en Terrae, decidí dibujar en una hoja de cuadros un cuadrado de 30 unidades de lado, crear con otra hoja de cuadros una regla graduada en esas mismas unidades y, por último, medir la diagonal del cuadrado con dicha regla. El resultado, como puede apreciarse en la imagen, fue de 42 unidades y pico. Como la cifra 42 aparecía en la tablilla decidí seguir adelante aplicando el Canon Original y las medidas derivadas del mismo:

Hombre = 1'80 m. Codo = 45 cm. Palma = 7'5 cm. Dedo = 1'8 cm. Otras.

Punto 3: Estableciendo unidades:

Partiendo de la unidad base de medida (Dedo = 1'8 cm ) y recordando la importancia del número 60 establecí varias unidades que se relacionan entre sí multiplicando o dividiendo por 60:

Dedo = 1'8 cm --> 60 Dedos = 108 cm = 1'08 m --> 3600 Dedos = 6480 cm = 64'80 m.

Para recordarlas decidí “bautizarlas” con letras (U) y ordenarlas de mayor a menor:

U1 = 64'80 m --> U2 = 1'08 m --> U3 = 1'8 cm.

Punto 4: Probando: 42, 25 y 35:

Pasemos ahora a la tableta. Supongamos que los números se refieren a unidades de medida. Partiendo de esa base el Lado (Lado = 30) medirá 30 unidades. Supongamos que son 30 U1:

Lado = 30 U1 = 30 x 64'80 m = 1944 m.

Aplicando la fórmula que solemos aplicar actualmente (D^2 = L^2 + L^2) obtendremos que Diagonal = 2749'23117 m. Esta es nuestra forma de hallar el resultado pero veamos otro modo.

Supongamos que medimos la diagonal con las 3 unidades propuestas aplicando primero la unidad superior, posteriormente la siguiente y por último la inferior. Obtendríamos el siguiente resultado:

42 U1 = 42 x 64'80 m = 2721'60 m.

25 U2 = 25 x 01'08 m = 27 m.

35 U3 = 35 x 1'8 cm = 0'63 m.

TOTAL = 2749'23 m.

Habríamos medido la Diagonal con exactitud empleando, respectivamente, 42, 25 y 35 unidades.

Punto 5: Probando: 1, 24, 51 y 10:

Queda por explicar la otra serie de números (1, 24, 51, 10) así que vamos con ella. Tomemos el Lado (30 U1 = 30 x 64'80 m = 1944 m) como una unidad (1). Partiendo del Lado como unidad y dividiendo por 60 tenemos otra serie de medidas que forman parte del Sistema de Medidas Antiguo. “Bautizaremos” estas nuevas unidades con otra letra (Z) y las ordenaremos de mayor a menor:

Z1 = 1944 m --> Z2 = 32'4 m --> Z3 = 54 cm --> Z4 = 9 mm.

Supongamos que medimos la diagonal con las 4 unidades propuestas aplicando primero la unidad superior, posteriormente la siguiente, luego la tercera y por último la inferior. Obtendríamos esto:

01 Z1 = 01 x 1944 m = 1944 m.

24 Z2 = 24 x 32'4 m = 777'6 m.

51 Z3 = 51 x 54 cm = 27'54 m.

10 Z4 = 10 x 9 mm = 0'09 m.

TOTAL = 2749'23 m.

Habríamos medido la Diagonal con total exactitud de otro modo. En este caso habríamos empleado, respectivamente, 01, 24, 51 y 10 unidades.

CONCLUSIÓN:

Eso es todo. A mí personalmente me parece que es una explicación muy sencilla y que encaja muy bien con los datos disponibles. Creo que es un buen ejemplo de la enorme utilidad práctica del conocimiento correcto del Canon Original y del Sistema de Medidas Antiguo. Espero que también lo consideren así Arquitectos, Arqueólogos e Historiadores y contacten conmigo. Muchas gracias. Luis Castaño. Licenciado en Filología. Investigador en Metrología Histórica. 



Comentario por Guillermo Caso de los Cobos el abril 14, 2016 a las 12:15pm

Muchísimas gracias, Luis. 

Es una contribución y explicación interesantísima y estupenda, tanto por su claridad como por su sencillez. Se puede decir que mantienes aquí el concepto de 'KISS' a rajatabla. Más simplicidad y lógica, aplicando el Sistema de Medidas Antiguo (por tí propuesto), no puede haber.

Y el hecho de que la solución de la diagonal, con base a las medidas que aparecen en la tableta, se pueda demostrar certero partiendo del Sistema de Medidas Antiguo (tomando como referencia la medida leonardesca de un hombre de 1,8 metros por tí propuesta) no deja de nuevo de resultarme grato, pues la coincidencia del resultado que ofreces no viene sino a confirmar una vez más la suma importancia de la veracidad de tu hallazgo. Enhorabuena por ello.

Un saludo y suerte en tus objetivos.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el abril 14, 2016 a las 12:45pm

Hola, Guillermo:

Me alegro mucho de que te guste mi aportación. Y te agradezco que hayas modificado mi comentario insertando la imagen en su sitio. :-)

En cuanto al término "tableta" (que debe venir del inglés "tablet") al final tengo mis dudas. Al final creo que la traducción correcta al español es "tablilla" (como puse en un principio) y no "tableta" como luego quise poner (y tú has modificado en mi comentario) siguiendo la entrada de Terrae. Estaría bien que alguien que supiese con certeza cuál es el término correcto nos lo confirmase.

Saludos para ti y muchas gracias por tus comentarios y tus buenos deseos.

Comentario por Guillermo Caso de los Cobos el abril 14, 2016 a las 1:15pm

Hola de nuevo, Luis.

En realidad, para los efectos, los términos 'tableta' o 'tablilla' podríamos considerarlos sinónimos. No obstante, yo me inclino por el término 'tablilla' para designar artefactos como el que nos ocupa, y tanto más cuanto que el RAE tiene la siguiente definición en su tercera acepción:

* Pequeña placa barnizada o encerada en que antiguamente se escribía con un punzón.

Mientras que el término 'tableta' se aplica de ordinario a los artilugios informáticos portátiles con pantalla táctil que todos conocemos, y el mismo RAE ya admite este término en tal sentido, sin mencionar ninguna acepción parecida a la que hemos dicho del término 'tablilla'.

En realidad, cuando escribiste 'tablilla', ciertamente estaba bien. Te lo corregí más que nada por seguir tu petición, y porque, como dije, a los efectos, se podía considerar sinónimos.

En fin, quede aquí esta pequeña disquisición como aclaración al respecto para los lectores de los comentarios del post. 

 

Comentario por Luis Castaño Sánchez el abril 14, 2016 a las 3:03pm

Ok. Me quedo con tablilla entonces (que de hecho es el término que tenía por costumbre usar). :-D

Comentario por Jabo el abril 14, 2016 a las 4:35pm

Hola Luis,

Los cálculos que haces son independientes de: "Partiendo de la unidad base de medida (Dedo = 1'8 cm )". Sea cual sea ese valor los 3 resultados de los otros cálculos coinciden entre si.

Jabo

Comentario por Luis Castaño Sánchez el abril 14, 2016 a las 9:05pm

Buenas tardes, Jabo:

Te agradezco la observación porque eso me dará la ocasión de explicar algunos puntos que quizá no he explicado bien en la propuesta. No estoy muy despejado pero espero poder dejarlos claros.

Es cierto que esos cálculos pueden hacerse empleando otras unidades (yo he empleado esas porque me resultaba fácil: no afirmo que sean necesariamente las que ellos empleasen) o bien de forma "abstracta" (es decir, empleando sólo números, independientemente de la unidad concreta que sea). Esa forma "abstracta" es la que empleamos "nosotros" hoy en día para hacer cálculos.

[Nota: Vaya por delante que, si bien puedo tener conocimientos básicos de matemáticas, no soy por supuesto especialista en matemáticas. Ni tampoco en arquitectura, por mucho que me guste. De ahí que busque soluciones fáciles que me sirvan: cálculos sencillos y concretos en el caso de las matemáticas, planos en hojas de cuadros en el caso de la arquitectura. Quiero decir con esto que si digo alguna enorme barbaridad agradezco de antemano que se me señale. Gracias.]

Pero la cuestión (y por eso empleo unidades concretas: "Partiendo del Dedo") es que creo (digo bien: creo; no afirmo nada con certeza; a pesar de llevar 6 años en este tema aún quedan por explorar muchos aspectos del mismo y es lo que estoy haciendo: explorar, probar) que "ellos" hacían sus cálculos de manera mucho más concreta. Y eso es justo lo que creo que dejamos de lado cuando "nosotros" recogemos sus planteamientos empleando sólo "números".

Pondré algunos ejemplos para que se entienda mejor:

1/ La circunferencia: Nosotros dividimos la circunferencia en 360 Grados. Bien. ¿Por qué? Es decir. ¿Por  qué 360 Grados y no 123 o 215 o cualquier otra cifra? Bien, en el artículo principal de mi investigación ("Metrología Histórica: Una nueva propuesta") planteo una posibilidad. En el Canon Original el Pie natural mide 1/7 del Hombre = 25'65 cm. (Puedo explicar este valor más adelante si es necesario). Bien, resulta que si trazamos una Circunferencia con Radio en ese Pie (Marca + Pie + Marca = 25'80 cm) obtendremos una Circunferencia cuya longitud son casi exactamente 162 cm. ¿Qué importancia tiene esto? Pues resulta que esos 162 cm son 360 Granos de cebada, una de las unidades del Sistema de Medidas Antiguo: 360 Granos x 4'5 mm = 162 cm. En definitiva: esos cálculos están hechos no con números "abstractos" sino con unidades muy concretas.

2/ El llamado "Pi egipcio": Por lo que he podido leer (de nuevo téngase en cuenta que no soy ni matemático ni egiptólogo) tengo entendido que suele decirse que para el cálculo de Pi los egipcios empleaban la fracción 22/7. Bien, eso está muy bien. Pero (volviendo al tema de las unidades concretas) mi pregunta siempre es: ¿22 qué? ¿7 qué? Y la respuesta podría ser la siguiente. Resulta que si parto de un diámetro igual a 7 Palmas = 52'5 cm y trazo una Circunferencia esta tendrá una longitud de 22 Palmas = 165 cm. (Nota: Dicho sea de paso puedo demostrar que esta relación es muy similar a la propuesta en el punto 1 pero no quiero extenderme). En definitiva: no creo que buscasen saber "cuánto vale el número Pi"; sólo una relación concreta y sencilla entre diámetro y longitud de la circunferencia.

3/ El "Pi de Vitruvio": Todo esto no son inventos míos como de hecho nos demuestran las palabras de Vitruvio. Se suele leer que el "Pi romano" equivale a 3 + 1/8. Bien, ¿de dónde sale esa afirmación? Pues creo que de las siguientes palabras de Vitruvio en sus Diez Libros de Arquitectura: "Capitulo noveno: Cómo medir las distancias: (...) Procédase de la siguiente manera: las ruedas del carruaje medirán cuatro pies de diámetro; se señalará un punto o una marca en la misma rueda y se iniciará el movimiento giratorio de la rueda a partir de ese punto; cuando la rueda dé un giro completo se habrá recorrido con toda certeza un espacio de doce pies y medio" (y no sigo porque es extenso y con este extracto sirve). En definitiva: Vitruvio no buscaba establecer ningún "Pi romano" = 3 + 1/8 = 3'125. Expresar así las relaciones recogidas por Vitruvio es omitir mucha información y, en cierto modo, falsear el planteamiento original. Lo que Vitruvio recoge en ese texto es un modo muy concreto de establecer relaciones entre el diámetro de una rueda (en una medida muy concreta: cuatro pies; eso sí, hay que ver a qué medida se refiere cuando habla de "pie") y el espacio que recorre esa rueda en un giro completo.

En resumen:

Por supuesto que nosotros podemos hacer esos cálculos sin tener en cuenta ninguna unidad de medida concreta. Y por supuesto que los cálculos pueden hacerse de ese modo. Yo lo que me pregunto (y planteo) es si ellos hacían también los cálculos sin tener en cuenta ninguna unidad de medida concreta, o si, por el contrario, los hacían partiendo de unidades bien concretas.

Por eso en mi introducción defiendo la necesidad de formar un equipo de trabajo multidisciplinar. Porque creo que, en origen, había toda una serie de disciplinas unidas (metrología, geometría, matemáticas, arquitectura y otras) que "nosotros", con tanta especialización, hemos fragmentado, pero que "ellos" posiblemente enfocaban como un "todo". Y porque creo que mientras no las enfoquemos del mismo modo en que las enfocaban "ellos" se nos escaparán relaciones entre las disciplinas citadas que posiblemente / probablemente están ahí. Espero haberme explicado. Luis.

 

 

Comentario por Luis Castaño Sánchez el abril 14, 2016 a las 9:23pm

Por cierto. Recuerdo que, cuando hace ya años, hablé por primera vez en Terrae de mi investigación un forero me acusó de hacer "numerología barata". Al releer mi comentario anterior he caído en la cuenta que la siguiente frase puede servir para demostrar, como ya decía entonces, que mi investigación no trata sobre numerología (números) sino sobre metrología (medidas).

Cito:

creo (...) que "ellos" hacían sus cálculos de manera mucho más concreta. Y eso es justo lo que creo que dejamos de lado cuando "nosotros" recogemos sus planteamientos empleando sólo "números".

Comentario por Luis Castaño Sánchez el abril 14, 2016 a las 9:30pm

Por cierto, mis disculpas. Redacté el texto directamente en la caja de comentarios. Para la próxima vez que redacte un texto largo intentaré recordar hacerlo primero en Word y luego pegarlo. Así podré añadir secciones, subrayados, negritas, etc. para hacerlo más legible.

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