Una tablilla babilónica muestra el ejemplo de geometría aplicada más antiguo del mundo

Tablilla Si.427, datada entre los años 1900 y1600 a.C. Un topógrafo de la antigua Babilonia escribió en esta arcilla con un estilete. / UNSW Sydney

En 2017 el profesor Daniel Mansfield, de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW, Australia), descubrió que una tablilla rectangular babilónica denominada Plimpton 322, de unos 3.800 años de antigüedad, era la tabla trigonométrica más antigua y precisa del mundo.

Ahora, Mansfield ha publicado en la revista Foundations of Science un nuevo estudio con más detalles sobre esa pieza de arcilla y sobre otra redonda una tablilla para llevar cómodamente en la mano que permanecía olvidada desde hace más de un siglo en el Museo Arqueológico de Estambul (Turquía).

Está etiquetada como Si.427 y fue recogida en 1894 por el arqueólogo francés Jean-Vincent Scheil  en Sippar, una ciudad de la Baja Mesopotamia situada en lo que hoy es la provincia de Bagdad, en Irak. Según Mansfield, es el ejemplo más antiguo de geometría aplicada del que se tiene constancia.

“Si.427 data del período de la antigua Babilonia (entre el 1900 y 1600 a.C.)”, afirma este matemático, y según confirma a SINC, “lo sabemos porque la tablilla hace referencia a un campo propiedad de Sîn-bêl-apli, un terrateniente que vivía en Sippar en esa época, y además el estilo del lenguaje lo confirma”.

“Es el único ejemplo conocido de un documento catastral de ese periodo , un plano utilizado por los topógrafos para definir los límites de las tierras. En este caso, nos informa de los detalles legales y geométricos de unas tierras (pantanosas o humedales) divididas tras la venta de una parte”, subraya.

Foto: La tablilla babilónica Plimpton 322 presenta cuatro columnas (separadas por tres hendiduras) y 15 filas de números cuneiformes, pero seguramente tuvo más porque está fragmentada. / UNSW/Andrew Kelly.

Ternas pitagóricas antes de Pitágoras

Pero si hay algo que destaca en esta milenaria arcilla es el uso de lo que hoy se conoce como ternas pitagóricas para hacer ángulos rectos precisos. Mansfield destaca que este descubrimiento tiene importantes implicaciones para la historia de las matemáticas, ya que aparece esta figura geométrica mil años antes de que naciera Pitágoras.

“Una terna pitagórica es un triángulo rectángulo (o rectángulo) de medidas muy simples que satisface el teorema de Pitágoras explica. La mayoría de los rectángulos y triángulos rectos tienen longitudes muy incómodas como 1,4142135623730951..., pero estas ternas tienen medidas muy sencillas como 3, 4 y 5. Esto hace que sean una forma fácil de construir líneas perpendiculares. Se utilizó en la antigua India ya en el año 800 a.C., pero ahora sabemos que también en la topografía babilónica en el año 1900 a. C., unos mil años antes”. 

 

En el caso de la tablilla redonda, escrita con letra cuneiforme, se dibuja el campo vendido con líneas de cuadrícula horizontales y verticales superpuestas, lo que permitió al topógrafo realizar una precisa subdivisión. En concreto, la tablilla contiene las ternas 5-12-13 (dos veces) y la 8-15-17, que se emplearon como base teórica para las líneas perpendiculares de la cuadrícula.

Otras tablillas de la época también mencionan disputas de Sîn-bêl-apli por temas relacionados con sus tierras, como en una donde se menciona un pleito con otra rica terrateniente por las valiosas palmeras datileras que crecían entre sus dos propiedades. Un administrador local aceptó enviar a un topógrafo para resolver el conflicto, un ejemplo más de lo importante que era ya entonces establecer las límites catastrales.

“Sabíamos que los babilonios conocían los triángulos rectángulos y las ternas o ‘triples’ pitagóricas, pero desconocíamos por y para qué”, apunta el investigador, “pero ahora la nueva tablilla Si.427 nos muestra que usaban estas formas para medir con precisión el terreno, y esto nos ayuda a entender otras tablillas de la misma época, como la más famosa Plimpton 322”. En 2017 ya se planteó que esta tuviera algún propósito práctico para construir palacios, templos, canales... o en la topografía de campos.

Mansfield considera que la forma en que se establecen los límites entre las tierras revela una verdadera comprensión geométrica: “Nadie esperaba que los babilonios utilizaran las ternas pitagóricas de esta manera. Se trata de algo más parecido a las matemáticas puras, inspirado en los problemas prácticos de la época”.

En general, se acepta que la trigonometría (la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los triángulos) fue desarrollada por los antiguos griegos al estudiar el cielo nocturno en el siglo II antes de Cristo, pero estudios como este demuestran que los babilonios desarrollaron su propia 'proto-trigonometría' alternativa para resolver, en esta caso, problemas relacionados con la medición del suelo, no del cielo.

La tablilla Si.427 muestra el plan de un topógrafo de campo.

Crear ángulos rectos: más fácil de decir que de hacer

Una forma sencilla de crear un ángulo recto exacto es hacer un rectángulo con los lados 3 y 4, y la diagonal 5. Estos números especiales forman la terna pitagórica 3-4-5, y un rectángulo con estas medidas tiene ángulos rectos matemáticamente perfectos. Esto era importante para los topógrafos de la antigüedad y todavía se utiliza hoy en día.

“Los antiguos topógrafos que grabaron Si.427 hicieron algo aún mejor: utilizaron una variedad de diferentes ternas pitagóricas, tanto en forma de rectángulos como de triángulos rectos, para construir ángulos rectos precisos”, señala el matemático australiano.

Sin embargo, es difícil trabajar con números primos mayores de 5 en el sistema numérico babilónico que era de base 60. “Esto plantea un problema muy particular: su sistema numérico único de base 60 significa que solo se pueden utilizar algunas formas pitagóricas”, explica Mansfield, “y parece que el autor de Plimpton 322 revisó todas esas formas para encontrar aquellas útiles”.

El profesor Daniel Mansfield examinando la tablilla Si.427 en el Museo Arqueológico de Estambul.

El misterio del 25:29

Solo queda un misterio que el autor no ha logrado todavía desvelar: en el reverso de la tablilla, en la parte inferior, aparece el número sexagesimal 25:29 en letra grande, y el matemático piensa que son 25 minutos y 29 segundos.

“Pero no puedo entender qué significan, es todo un enigma reconoce. Estoy deseando debatir cualquier pista con historiadores o matemáticos que pudieran tener una corazonada sobre lo que estos números tratan de decirnos”.

Fuente: agenciasinc.es | 4 de agosto de 2021

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Comentario por Luis Castaño Sánchez el agosto 5, 2021 a las 2:39pm

Muy interesante la noticia. Y creo haber resuelto el misterio del 25 y el 29. Esta misma mañana le he enviado un mail al señor Mansfield. Veremos qué sale. :-) 

Comentario por Luis Castaño Sánchez el agosto 7, 2021 a las 8:04am

Estimad@s amig@s de Terrae:

Hace un momento he enviado un mail a la redacción de Eulixe.com (que fue donde yo leí la noticia este jueves por la mañana, a raíz de un grupo de Facebook). Hago aquí copia y pega del mail así como de la imagen explicativa de mi propuesta sobre los números 25 y 29. Un cordial saludo.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el agosto 7, 2021 a las 2:52pm

Salud@s de nuevo a tod@s:

He eliminado varios comentarios míos anteriores para dejar sólo la versión definitiva de mi propuesta para explicar los números 25 y 29 de esa tablilla Si.427. La explicación gráfica quedaría así. Obsérvese que todas las ternas son exactas y que en todas aparece el número 5 o un múltiplo:

Comentario por Óscar Fernández Luengo el agosto 8, 2021 a las 10:48am

Podéis consultar la memoria de la excavación de Sippar de 1894 aquí:

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9109497j/f137.item

Hay varias tablillas con formas geométricas orientadas al catastro y así identificadas por Scheil, por si os resulta de interés. 

Comentario por Luis Castaño Sánchez el agosto 8, 2021 a las 10:50am

Excelente aportación. Muchísimas gracias. Me guardo el enlace para echarle un vistazo cuando pueda.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el agosto 23, 2021 a las 6:10pm

Bueno, pues ya está.

He seguido explorando la tablilla (y el vídeo) del señor Mansfield y creo que es todo muy sencillo.

LA NOTICIA:

En esta noticia se habla de los tripletes pitagóricos 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17:

https://www.eulixe.com/articulo/foto-del-dia/descubierto-ejemplo-ge...

También se habla de la dificultad del señor Mansfield para entender el 25 y el 29.

EL VIDEO:

Por otro lado, en el vídeo Mansfield habla del triplete 7,5-18-19,5:

https://www.youtube.com/watch?v=fSRMJcpKA3s

PROPUESTA DE SOLUCIÓN:

Creo que lo que tenemos son una serie de tripletes pitagóricos y luego sus múltiplos, claro:

3-4-5

5-12-13

8-15-17

15-20-25 (que es 5 veces 3-4-5)

20-21-29

En cuanto al triplete del vídeo (7,5-18-19,5) es simplemente un múltiplo del triplete 5-12-13:

5-12-13 >>> x 1,5 = 7,5-18-19,5.

Y ya está.

Básicamente imagino que esta gente primero estudió relaciones sencillas en la cuadrícula de medidas, luego las anotó y por último las aplicó, claro. Y cuando digo esta gente no me refiero sólo a los sumerios sino a todos los pueblos antiguos: sumerios, egipcios, etc.

Así por ejemplo en Egipto tenemos que un cuadrado de lado 12 Dedos tiene una diagonal de 17 Dedos, que un cuadrado de lado 32 Dedos tiene una diagonal de 45 Dedos + ¼, etc.

K.I.S.S.

Comentario por Guillermo Caso de los Cobos el agosto 24, 2021 a las 8:04pm

Se agradece tu contribución, amigo Luis. Como siempre, sencilla y clara.

Veremos si hay suerte y el profesor Daniel Mansfield nos da su parecer al respecto. 

Un saludo 

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