HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS (música y arqueología). Deseo dedicar estos artículos al maestro Paco de Lucía -que hace poco "nos dejó"-.

EL ANATEMA PITÁGORICO: Nota explicativa a la anterior entrada

Este artículo es tan solo una ampliación a la anterior entrada -VER NUESTRA PARTE III DE HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS-:
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SOBRE ESTAS LÍNEAS: De nuevo una fotografía del autor de estos artículos, junto a la pirámide de Shaqqara, tal como la subíamos en anterior entrada. He pintado sobre la imagen los ejemplos de triangulación que exponíamos como nuestra idea para hallar las raices cuadradas en la Antigüedad más remota. Un método fáctico, basado en dibujar escalenos o equiláteros en la arena (por medio de palos y cuerdas), en la forma que a continuación describo. Acerca del anatema pitagórico tal como lo veo (que me comenta un lector "mal explicado" -ya que habíamos incluido una imagen de una triángulo con valor "1", "1" e hipotenusa ¿2?-) ; a continuación lo analizamos de nuevo para que todos los que nos siguen puedan entenderlo facilmente y sin errores. Pese a ello y como adelanto les propongo que reflexionen sobre estos triángulos dibujados en la parte superior de la imagen. Ya que el anatema se produce habida cuenta que: 1 = Ѵ1 = 12 .
Lo que produce el "desfase" en la representación triangular de la raiz cuadrada de "2". Tanto más cuando no se puede aplicar geométricamente el teorema pitagórico con catetos con valor menor a 1.
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MÉTODO FÁCTICO EGIPCIO PITAGÓRICO QUE HEMOS PENSADO PARA OPERAR CON RAICES, EN BASE A TRIÁNGULOS Y EL PROBLEMA DEL ANATEMA DE PITÁGORAS:

 
a)-. MODO DE REALIZARLO:
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Bastará partir del primer triángulo, que será : cateto (a)=1 ; cateto (b)=1; cuya hipotenusa es Ѵ2 (hallando así el valor de esta raiz cuadrada del 2). Para ello, trazaremos en la arena el cuadrado (o triángulo) lo más perfectamente que podamos y con valor -por ejemplo- de 1 metro en cada lado. Tras lo que midiendo perfectamente su raiz del cuadrado (la hipotenusa) veremos que equivale a la de Ѵ2 = 1,414213562. VER EN IMAGEN INFERIOR EL TRIÁNGULO ROJO SOBRE EL CIELO (a la izquierda y marcado con una a): Su "raiz del cuadrado" 1 x 1 es Ѵ2.
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Aunque ello plantea ya el problema de lo que consideramos era el famoso "dogma" que se interpretó como que Pitágoras negaba la raiz del 2. Porque por debajo del 1 no se puede representar geometricamente su teorema, dado que 1 al cuadrado y Ѵ1 es lo mismo que 1. El problema se acrecienta cuando se baja del valor 1, dado que la raiz cuadrada de 1/2 es superior a 0,5 (Ѵ1/2 = 0,707106...). De lo que ya el triángulo "1", "1" , plantea la duda de si el resultado es en verdad y su hipotenusa equivale a Ѵ2 (tal como el filosofo explicaba).
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b)-. EXPLICACIÓN DEL ANATEMA:
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Si queremos hallar las raices de 1/2 (0,5), y representarlas en geometría; teoricamente bastará con obtenerlas realizando un triángulo cuya hipotenusa es "1" ; dibujando dos catetos iguales bajo este -aprovechando el lado del anterior, para que este se convierta en la raiz del nuevo cuadrado-. De tal manera y midiendo minuciosamente los lados de este, sabremos que los catetos idénticos cuya hipotenusa es "1", serán la raiz cuadrada de 1/2 = Ѵ0,5. VER IMAGEN BAJO ESTAS LÍNEAS EN NEGRO, LA SEGUNDA Y MARCADA CON b).
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Pese a ello, esto no es tan sencillo de comprobar ni de ver como cierto, ya que la raiz del cuadrado de 1/2 es superior a 0,5. Siendo así, que para una hipotenusa de 1 se precisan dos catetos de 0,70710681 = Ѵ0,5 .
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Por lo que si (Ѵ1/2 = 0,707106...) y si (0,707106... x 2 = Ѵ2) su hipotenusa sería ѴѴ2, es decir 4Ѵ2 raiz cubica de 2; o lo que es lo mismo 21/4
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Con esta explicación creemos que se entiende "el dogma" de Pitáguras, que incluso dudaba de que la hipotenusa del triángulo "1", "1" fuera realmente Ѵ2 .
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c) LA TRIANGULACIÓN:

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1º POR RAIZ DEL CUADRADO:
En el lado superior derecho, sobre la zona de cielo y marcado como (c), podemos ver el primer desarrollo de estos triángulos, de los que se forman gradualmente con los siguientes valores:

Primero y en amarillo: "1" - "1" - raiz del cuadrado = Ѵ2

Segundo y en naranja: "Ѵ2" - "Ѵ2" - raiz del cuadrado = 2

Tercero y en color rojo: "2" - "2" - raiz del cuadrado = Ѵ8

Cuarto y en negro: "Ѵ8" - "Ѵ8" - raiz del cuadrado = 4 (marcada en morado).

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2º POR TRIÁNGULOS:
Es este un sistema sencillo de hallar raices cuadradas de números enteros dibujando en la arena triángulos. El sisteme que se nos ocurre es tan simple como el trazado de triángulos consecutivos, que comienza en el "1", "1", "Ѵ2" y que como hemos realizado en el esquema termina en "1", "Ѵ8" , "Ѵ9"

Primero, amarillo: Cateto (a) 1; (b) 1, Hipotenusa Ѵ2

Segundo, naranja: (a) 1 , (b) Ѵ2 , Hipotenusa Ѵ3

Tercero, rojo: (a) 1 , (b) Ѵ3 , Hipotenusa Ѵ4

Cuarto, negro: (a) 1 , (b) Ѵ4 , Hipotenusa Ѵ5

Quinto, morado: (a) 1 , (b) Ѵ5 , Hipotenusa Ѵ6

Sexto: azul: (a) 1 , (b) Ѵ6 , Hipotenusa Ѵ7

Séptimo, verde: (a) 1 , (b) Ѵ7 , Hipotenusa Ѵ8

Octavo, marrón: (a) 1 , (b) Ѵ8 , Hipotenusa Ѵ9

Así, sucesivamente hasta hallar las raices cuadradas que se deseen.

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