HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS II (música y arqueología). Deseo dedicar estos artículos al maestro Paco de Lucía.

CAPÍTULO 2 de: Hipótesis arqueológica sobre las primeras temperaciónes y escalas musicales.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Sobre una fotografía de la clave central de la Catedral Vieja de Salamanca, hemos dibujado el cuadro que denominamos El Mundo Objetivo y Subjetivo, aplicado a las artes, a las ciencias y a las humanidades. Un esquema que ya presenté como tesis hace unos treinta años; haciendo de este un principio de análisis sobre el cual poder comprender por qué unas disciplinas son mediatas (lejanas) a otras y algunas están unidas inmediatamente. De tal modo y por muy diferentes que nos resulten las humanidades de la ciencia o del arte, se sitúan a medio camino y entre ambas disciplinas. Por su parte, la ciencia pura y las artes, se hallan en polos opuestos; tal como se encuentran las humanidades que hemos llamado sociales (economía, polítología, Derecho...) de las intelectuales (filología, Historia etc).
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En este esquema que hemos trazado sobre la foto de la clave, podremos ver que hay un mundo SUBJETIVO SUBJETIVO -marcado como (A)- y que se corresponde al de las artes; y que como todos entendemos, son puramente subjetivas. A su lado se sitúa el terreno de lo SUBJETIVO OBJETIVO (B), que comprende humanidades como la sociología, el Derecho, o la economía -a las que llamaremos HUMANIDADES SOCIALES-. Ello porque para el análisis de estas ciencias se ha de partir desde hechos subjetivos (comunes a todos), necesitando más tarde aplicar procedimientos objetivos (como la matemática, la estadística o la criminología). Siendo el fundamento de estas disciplinas partir desde hechos subjetivos para llegar a unas conclusiones objetivas y ecuánimes. De ello considero lao que denomino "humanidades sociales", como SUBJETIVAS OBJETIVAS.
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Bajo las anteriores podremos hallar el mundo de lo OBJETIVO OBJETIVO (C); que se correspondería con la ciencia pura (como la matemática). A su lado, finalmente veremos el OBJETIVO SUBJETIVO (D); que catalogamos de HUMANIDADES INTELECTUALES (filología, Historia, etc). Ello porque estas disciplinas parten desde unos hechos objetivos (históricos, lingüísticos etc), para llegar a conclusiones puramente subjetivas (o personales de cada historiador, literato y estudioso).
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Siendo así y frente a este esquema tendremos las bases para comprender por qué se produce la "trascendencia" o la sublimación (que llega al misticismo). Un hecho que se lleva a cabo cada vez que una disciplina o arte logra pasar hasta su lado mediato. Por ejemplo, cuando la matemática y la física llegan a unirse con la música, con la pintura y otras artes; al igual que se sucede la "trascendencia" en el momento en que el arte tiene un enorme contenido de conocimientos científicos puros, logrando a que su belleza se transforme en ciencia. Algo que sucede -como siempre decimos- y puede observarse perfectamente en las construcciones de las catedrales, en la música de Bach, o en la obra de pintores como Leonardo da Vinci (cuyos principios artísticos se relacionan con teoremas matemáticos). De un igual modo, las teorías científicas de Kepler o de Newton tienen tal belleza y sublimación, que son una obra de arte. Siendo así, cuando el arte está pleno de ciencia -o cuando la ciencia se convierte en arte-, ambos habrán transcendido a un plano sobrehumano o sobrenatural. Es lo que comunmente denominamos "elevación" o mística.
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En el caso de las otras dos clasificaciones: Del mundo SUBJETIVO OBJETIVO (B), frente a lo OBJETIVO SUBJETIVO (D). La tarscedencia se produce en el momento en que alguna disciplina pasa a su estado "mediato". Es decir, que (B) se acerque a (D) o viceversa; sin poder distinguirlas. En ese instante se produce la filosofía (del Derecho, de la econimía, de la política, de la Historia o de la lingüistica). Un pensamiento filosífico social en el caso de que (B) se confunda con (D); o bien filosofía puramente "intelectual" en el contrario -cuando (D) se acerca a (B)-. Ello porque al llegar el pensador hasta un mundo "mediato" (ajeno), las hipótesis y las formas de trabajo se convierten en las inversas. Para que lo entendamos, pensemos en el jurista o el economista, que tras hacer un análisis de los subjetivo y obtener unas conclusiones objetivas; se plantea de nuevo trabajar las mismas ideas del modo contrario Todo lo que le llevará a crear un sistema filosófico en el cual considerará que su conclusión -objetiva- es fruto de un estado constante de subjetividad en el Hombre. Por cuanto en la economía se analizarán los factores culturales, los gustos sociales, o los modos de vivir (no la estadística ni la lógica); al igual que en el Derecho se estudiará la moral o las conductas (subjetivamente hablando) y no el código práctico que lleve a aplicar lo más útil en cada caso.
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Conociendo lo que consideramos una explicación teórica de la trascendencia, continuaremos analizando la música y la matemática, como un medio de sublimar la espiritualidad.
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A) LA TRASCENDENCIA MÍSTICA O LA SUBLIMACIÓN "ELEVADA"; SITUACIÓN EN QUE SE ORIGINA:
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Hasta ahora habíamos hablado de los métodos de afinación como una técnica o concepto que partía desde conocimientos científicos, técnicas que llegaban a extrapolarse hasta unas ideas filosóficas que la unieron con las distancias y fuerzas del Cosmos. Teoría que por muy absurda que pueda parecernos, fue el comienzo de las Leyes de Kepler, tanto como la clave para que Newton resolviera su ecuación sobre la Fuerza de la Gravitación. Pese a ello, los "orígenes místicos" de las escalas musicales son milenarios, debiendo remontarnos al tiempo de Las Pirámides; momento en el cual debieron nacer estas ideas que equiparaban las fuerzas y ritmos del Cosmos, con los de la música. Un pensamiento de gran belleza y cuyos conceptos puramente filosóficos llegaron a poder demostrarse miles de años tras ser creadas y escritas.
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Por cuanto puede dedcirse históricamente, podemos afirmar que durante la Edad del Bronce hubieron de generar estos principios que concedían un carácter sagrado a las notas y a su afinación. Un "dogma místico" que heredaron los filósofos de la Primera Edad del Hierro, quienes cosideraban las artes de "temperar" -templar- los instrumentos, plenamente relacionadas con la Creación del Universo. Es decir, que se concebía el nacimiento de Espacio en virtud de unas medidas y divisiones iguales a los intervalos de las notas, en la escala musical perfecta. Todo lo que concedía un espíritu místico a la música, que incluso la unía e igualaba al origen del Espacio y del Tiempo. Ello porque pese a que Lessing catalogara a este arte de la acústica como puramente temporal, los antiguos lo concebían medido por distancias y pesos (tal como los astros gravitan). Es decir que las notas y sus intervalos se regulaban por longitud y tensión de cuerdas -en los cordófonos-, el tamaño de las "cañas" -en los instrumentos de viento-, o el peso y el volumen -en los de percusión-. Siendo así, el espacio regulaba una perfecta armonía y el tiempo un ritmo exacto. Un hecho que unía a la música con el Cosmos, igualmente medido por distancias y por sucesiones de periodos siderales, todo ello "atado" por una fuerza -gravitatoria- que tensaba y unía los planetas, de un mismo modo que el diapasón (o el clavijero) sujeta y regula las cuerdas.
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Una idea de Armonía Universal de la que surge la Musica de las Esferas, comunmente considerada platónica (o pitagórica), al haber sido divulgado y enseñado ese "dogma del Temperamento" por aquellos dos filósofos. Pese a ello, esta teoría que une los planetas -sus distancias y ciclos-, con la acústica y el "número perfecto"; tiene sus orígenes en las religiones más antiguas de Mesopotamia y de Egipto. Basándose en unas creencias nacidas al sublimar la matemática, la astronomía y las artes, uniéndolas a la espiritualidad -seguramente interpretando la capacidad para comprenderlas como un "don" divino-. Método por el cual lograban tal transcendencia al unir el sentimiento de la belleza artística con las teorías científicas; que trasladan el mundo puramente subjetivo (las artes) al pensamiento más objetivo (como la física o la matemática). Este avance por el cual se consigue unir la ciencia pura, a las disciplinas artísticas y a las humanidades más profundas (la filosofía), es un salto trascendente desde el mundo "objetivo" hasta lo más "subjetivo" del hombre. Consiguiendo a través de ello generar en nuestro interior un estado de elevación o deificación inigualable. Siendo a mi juicio este el motivo por el cual las artes que logran superar el mundo subjetivo y acercarse al terreno de las ciencias (de lo puramente objetivo), logran transmitirnos un estado y unas sensaciones místicas -o de elevación sublime (como sucede por ejemplo con la música de J.S. Bach, o con la pintura de Piero de la Francesca)-.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Algunos de los primeros triángulos en el plano, dibujados por mí sobre una foto tomada en la pirámide de Saqqara -recogemos esta imagen recordando la belleza de Egipto, ante los momentos de crisis que sufre este país milenario en nuestros días; deseando que sus problemas se solucionen pronto, de forma pacífica y estable-. En la ella vemos el monumento escalonado creado por el "gran arquitecto" y visir (schaty divino) Imhotep, a comienzos del III milenio a.C.. Siglos en los que ya se establecen las medidas ("el Maat" de Egipto) como "número y equilibrio perfectos", nacidos desde la armonía del Universo.
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En la imagen, en primer plano y en azul (sobre la arena) TRIÁNGULO INICIAL de "1" y "1", cuya hipotenusa es = √2. A la izquierda y sobre el cielo (en amarillo), el SEGUNDO TRIÁNGULO, con "1" y "2", cuya hipotenusa es = √5. Al lado opuesto (en rojo) el primer triángulo de gran imperfección que es de "2", "3"; ya que su hipotenusa = √13. Una raiz de trece que carece de sentido estético en la progresión que estas figuras, ya que por ejemplo el "1" y "3", tendría una hipotenusa √10 ; longitud y raiz que de algún modo debió ser considerada bella (al menos entre los egipcios que utilizaban base decimal). Por su parte y en la zona central -tal como explicaremos-, hemos trazado una fórmula para poder hallar todas las raices cuadradas, valíendose simplemente de triángulos dibujados en la arena.
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A) EL ANATEMA DE LA RAIZ CUADRADA DE "2" Y EL PROBLEMA PITAGÓRICO:
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Uno de los temas más "peliagudos", cuando tratamos sobre Pitágoras y sus discípulos es el famoso "dogma de la raiz cuadrada del dos"; sobre el que algunos autores mantienen que "el maestro" afirmaba, no existía. De un modo tal que las leyendas llegan a narrarnos como uno de sus discípulos logró descifrar el valor de √2= 1,4142135... ; trás lo que el resto de compañeros de "secta" ordenaron matarlo (o expulsarlo, por ir contra los principios del pitagorismo). Algunas fuentes hablan de que aquel descubridor del anatema , fue el grán arpista y filósofo Terpandro de Lesbos. Pese a lo que en verdad, este músico y teórico de la armonía fue juzgado y castigado por crear una nueva afinación y generar dos notas distintas (en la escala pitagórica). Por lo demás, mucho nos extraña a quienes hemos estudiado esta filosofia, que los seguidores de Pitágoras proclamasen la inexistencia de la raiz cuadrada del 2; ya que ella es el fruto del primer triángulo. Es decir, que cuando un "cateto" mide "1" y el otro es también igual a "1", su hipotenusa será = √2.

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Existen teorías que afirman también la imposibilidad de cálculo en la Antigüedad de raices cuadradas como la del "2", al carecer de cifras ni de escritura en fraccoiones. Pese a ello, hemos pensado durante algún tiempo cómo pudieron calcular la  ; deduciendo que para hallarla nos bastará con trazar sobre la arena un triángulo -o un cuadrado- de un metro de largo en cada cateto (procurando que sean exactamente iguales). Tras ello, si medimos bien la longitud de su "raiz del cuadrado central" (la hipotenusa), hallaremos pronto el valor cercano de √2, como 1,4142135... . Un hecho que nos traslada a las matemáticas fácticas, que en mi opinión y teoría fueron las que estudiaron, "vivieron" y calcularon en el Egipto antiguo (incluso hasta en Grecia y Roma). Un método matemático donde el trabajo con cuerdas, con cálculos (piedrecitas) y a través de dibujos en la arena, debió ser la fórmula para encontrar ciertas operaciones (que más tarde se comprobaban por teoremas).
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Además, la justificación matemática de aquellas no era tan importante como su utilidad; pues tan solo deseaban poder trabajar con los resultados así obtenidos. Tanto, que una aproximación bastaba para tener la cifra necesaria ( etc). Siendo para ello suficiente, trazar circunferencias, triángulos o cuadrados, a la perfección; y después medirlos minuciosamente en sus distancias y proporciones (con cuerdas). Resolviendo así -por ejemplo- la trigonometría esférica; que permite recoger conocimientos utísimos para guiarse en el desierto, o calcular la hora y fecha (pudiendo viajar bajo la prospección de longitud y latitud, conociendo así donde nos encontramos en cada momento de la singladura).
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De tal manera, pensando en esta primera conclusión que exponemos; nos será muy fácil comprender qué significaba "la cuerda" para los sacerdotes egipcios (tanto como para los agrimensores griegos o romanos). Quienes debían valerse de sogas no solo para el estudio de la matemática, sino también como el mejor medio para medir las propiedades, las distancias en los caminos y para distribuir las parcelas. Un trabajo en el cual era imprescindible manejar la triangulación, habida cuenta que el cuadrado -o el rectángulo- se deforman facilmente. Aunque el triángulo no pierde tan rápidamente su perfección, ya que valiéndose de una simple escuadra puede comprobarse si su vértice está o no a 90º (delatando su estado defectuoso con bastante exactitud). A ello seguramente se debe la importancia del triángulo en Egipto, al igual que la concedían a "la cuerda". Esta última tristemente desconocida, aunque una de la ceremonias más importantes fuera la de extensión de cuerda. Rito con el que comenzaba toda obra de construcción (en especial si era sagrada), y con la que iniciaban o inaguraban los templos, al igual que algunas fiestas. Siendo la cuerda el utensilio más útil para el agrimensor, tanto como para el matemático; ya que valiéndose de aquellas y dibujando sobre la arena, podría calcular difíciles ecuaciones, raices, y hasta manejar la trigonometría esférica (o circular, realizando complejos algoritmos). Todo ello valiéndose tan solo de unas sogas, unos palos (o un bastón) y de un sistema de medidas perfectamente delimitado.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: Fresco egipcio perteneciente a una tumba de Tébas (Valle de los Reyes) fechada en el Reino Nuevo (XVIII dinastía) -agradecemos a la institución propietaria, nos permita divulgar la imagen-. En la foto observamos unos funcionarios (¿sacerdotales?) que trabajan con su cuerda, midiendo el campo de cereal, para calcular la extensión y producción -con el fin de cobrar impuestos y generar un reparto ecuánime y justo de los recursos-. Tras el personaje que porta la soga se observa un segundo individuo que lleva un bastón; mientras frente ellos (a nuestra derecha y en lugar que apenas se ve) existe un tercer personaje que sujeta algo que bien pudiera ser una escuadra -o un método de calcular los grados de la soga extendida-.
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Evidentemente, la imagen nos habla de personas muy preparadas para la agrimensura, que se esmeraban en calcular perfectamente el reparto de tierras y la producción de cereal, con el fin de cumplir su cometido de un control justo sobre la Sociedad. Por lo demás se sabe que tales cuerdas eran preparadas durante meses en los recintos sagrados, donde igualmente se marcaban sus medidas para evitar fraudes. Las extendían y "curaban" al sol (y con agua) por un tiempo largo, tras lo que untaban con grasas y resinas estas sogas, con el fin de que no sufrieran deformaciones y midieran perfectamente cada caso. Portando marcas absolutamente delimitadas, que tras la supervisión del templo se consideraban exactamente calculadas; eran tan útiles como puede resultar en nuestra civilización la cinta métrica.
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Pero siguiendo con la teoría de los triángulos, y el problema del "2", tan solo concebimos que Pitágoras afirmase al inexistencia de la raiz de este número, refiriéndose a una extraña realidad, como es el hecho de que si tomamos varios triángulos equiláteros con el vértice a 90º, sus catetos siempre serán la raiz cuadrada de la hipotenusa dividida entre "2". Es decir, que si la hipotenusa es 4, ambos catetos serán Ѵ4/2; si la hipotenusa es 3, los dos catetos serán Ѵ3/2 y así sucesivamente. Aunque existe un caso, que es el "2", en el que vemos algo tan extraño como que Ѵ2/2 = Ѵ1 = 1. Es decir que realmente el triángulo cuya hipotenusa es "2", tiene dos catetos que carecen de raiz cuadrada, ya que ella es igual a "1". Habiendo sido muy probablemente este al anatema pitagórico, habida cuenta que es el "1" el que de algún modo no tiene raiz cuadrada. Al consistir en un número tan extraño que su elevado o raiz cuadrada es igual a sí mismo: 1^{1 = Ѵ1 = 1·1 = 1 .}
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BAJO ESTAS LÍNEAS: El autor de estos artículos junto a la Pirámide de Saqqara. Al lado he ido dibujando la sencilla forma del triángulo en la que cuando una hipotenusa es "x" y los dos catetos son iguales; ambos son =Ѵx/2. Este quizás fue el problema con el que se encuentra el pitagorismo al observar que en con hipotenusa "2", y catetos idénticos, estos equivalen a "1"; es decir, realmente a 2/2; y no tanto a Ѵ2/2 (como debiera ser). Considero por ello que quizás el "dogma pitagórico" acerca de la Ѵ2 debemos entenderlo así; al creer posiblemente los seguidores de Pitágoras, que en verdad el número que carece de raiz cuadrada es el "1" (cuya hipotenusa en el primer triángulo "1", "1" es = "2"; y de ello el anatema relativo a la raiz de este segundo número).
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Continuando con la matemática fáctica, si tomamos como el primer triángulo el antes estudiado ("1", "1", "2"); el siguiente en relación a un orden numérico, sería aquel cuyos catetos fueran "1" y "2". Un triángulo cuya hipotenusa -como vemos en la foto de abajo- es Ѵ5 = 2,2360679... . Siendo así, para calcular la raiz cuadrada de 5 en la antigüedad, vemos que bastaría con trazar sobre la arena un triángulo de estas medidas: "1" en el cateto (a), "2" en el (b); siendo (c)=Ѵ5 . Todo lo que se calcularía midiendo bien la hipotenusa, para cuyo conocimiento semi-perfecto quizás haría falta realizar figuras de enormes medidas; aunque -realmente- si deseamos comprobar su facilidad para hallarlo de este modo, bastará que pintemos sobre la arena de la playa un triángulo con un metro en su lado (a) y dos de largo en el (b); para luego medir con exactitud la hipotenusa, observando que (c) nos resultará un valor muy cercano a la verdadera Ѵ5 = 2,2360679... .
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BAJO ESTAS LÍNEAS: De nuevo una foto de la Pirámide se Saqara, aunque ahora hemos dibujado sobre aquella un sistema para hallar cualquier raiz cuadrada de modo fáctico. Para lo que bastaría partir desde el primer triángulo ("1", "1", "Ѵ2" ) y seguir en un modo escalonado siempre que el cateto primero (a) fuera = "1" De tal modo con (a)=1; el cateto segundo (b) sería la hipotenusa del triángulo anterior. Ello así medido nos daría la razón continuada de las raices de Ѵ2; Ѵ3; Ѵ4; Ѵ5; Ѵ6; Ѵ7 y etc. En la foto podremos ver representado el método de ir dibujando en el suelo o sobre la arena estos triángulos sucesivos (que generarían una especie de "escalera" formada por triángulos consecutivos).
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B) LA RAZÓN PRIMERA DE "FI" () Y DE LA AFINACIÓN PITAGÓRICA:
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Trás observar la anterior relación de triángulos y su uso para hallar fácticamente las raices cuadradas, nos será fácil comprender que los egipcios y mesopotamios, pronto encontrarían el llamado "triángulo perfecto". Un escaleno que consistía en "3", "4", "5"; triángulo del que sabemos hubo de ser sagrado para los sacerdotes del faraón, por cuanto se repite en las formas arquitectónicas. Tanto que algunos autores (como Peter Tomkins) creyeron haberlo visto en las proporciones del pene del dios Minu. Un divo-faraón que representaba la fertilidad del Nilo y el poder fecundante de sus limos en la inundación. Todo lo que se simbolizaba en este dios al que se considera el recuerdo de una de las primeras dinastías reinantes y procedentes del Sur: Gentes que invadieron el delta -o llegaron a este- desde el Bajo Egipto y a comienzos de la Edad del Bronce. Una migración de pueblos camíticas, que debió de demostrar la mayor fertilidad y fortaleza de los africanos, frente a la debilidad y falta de masa corporal entre los más "blanquecinos" (al menos para soportar las temperaturas y trabajar en las condiciones que el Nilo y sus campos precisaban). Tanto fue así, que Minu (el divo de la fecundación) era representado como un hombre de raza negra, vestido de faraón y con flagelo; mientras su pene erecto, como símbolo de la fertilidad y la riqueza, dicen algunos que marcaba la perfección en la creación: El triángulo "3", "4", "5".
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ABAJO: Relieve capilla blanca de Sestrosis I, en Karnak (XII dinastía) -agradecemos a la dirección del Templo de Karnak (en Luxor), nos permita divulgar esta imagen-. En este podemos observar al faraón divinizado Min (ó bien Minu); dios de la fertilidad, que presenta el pene en estado itifálico. Algunos autores consideran que las medidas existentes entre el final de glande y la altura de su ombligo, conforman comunmente en las estatuas de Minu la proporción del triángulo perfecto (3-4-5). Así lo afirmaba el ingenioso investigador sobre las pirámides, Peter Tompkins -a mediados de los años ochenta-; estudioso al que se debe uno de los más entretenidos libros acerca de las construcciones egipcias.
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Pero continuando con la razón de "fi" -también llamada "La sección áurea"; e incluso la Divina Proporción, durante el Renacimiento-; diremos que su comienzo o sus orígenes se hallan en este triángulo perfecto. Debido a que la relación entre sus catetos y su hipotenusa son las siguientes:
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- a:b = 3/4 = 0,75 ; cuyo inverso es 4/3 = b:a

- a:c= 3/5 = 0,60 ; cuyo inverso es 5/3 = c:a

- b:c = 4/5 = 0,80 ; cuyo inverso es 5/4 = c:b
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Siguiendo con sus proporciones, uniendo los catetos y la hipotenusa estas son:
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- (a+b):c = (3+4)/5 = 7/5 ; cuyo inverso es 5/7 = c:(a+b)

- (a+c):b = (3+5)/4 = 8/4 ; cuyo inverso es 4/8 = b:(a+c)

- (b+c):a = (4+5)/3 = 9/3 ; cuyo inverso es 3/9 = a:(b+c)
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Consecuentemente las proporciones que nacen de dividir sus lados (solos o bien sumados) son: 3/4 (inverso 4/3); 3/5 (inverso 5/3); 4/5 (inverso 5/4); 7/5 (inverso 5/7); 8/4 (inverso 4/8); 9/3 (inverso es 3/9). Unas divisiones que marcan claramente los temperamentos pitagóricos, cuyos intervalos de afinación en la escala musical son exactamente esos: 3/4 ó 4/3 (a la que s denomina "cuarta"; 3/5 ó 5/3 (que combina "quinta" y "cuarta"); 4/5 ó 5/ (que es el intervalo de "quinta"); 7/5 ó 5/7 (en relación con armonía de "quinta"); 8/4 ó 4/8 (la octava o diapasón); 9/3 ó 3/9 (cuya proporción es 3 o 1/3, igualmente relacionado con la "cuarta" en la escala musical).
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Siendo así ya podemos afirmar que el sistema pitagórico de afinación y sus intervalos, proceden de estas medidas que marca el triángulo perfecto (3,4,5). Aunque sabiendo que aquellas escalas de Pitágoras y sus discípulos también estaban fundamentadas en la razón de "fi", nos será ya fácil buscar la proporción de este "número áureo" en el mismo triángulo perfecto.
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BAJO ESTAS LÍNEAS: De nuevo la imagen mía junto a la pirámide se Saqara, aunque esta vez la hemos coronado con el "triángulo perfecto" (en amarillo). Bajo esta, vemos el modo de hallar las raices cuadradas simplemente utlizando la hipotenusa como siguiente cateto en un triángulo que siempre tenga (a)=1. Consecuentemente, en el primer caso (b) será = 1; en el segundo (b)=Ѵ2; el tercero (b)=Ѵ3; el cuarto (b)=Ѵ4; el quinto (b)=Ѵ5; el sexto (b)=Ѵ6; y etc.. Partiendo de estas proporciones y desde las ya establecidas del triángulo perfecto, expondremos las razones de la "sección áurea" nacida desde aquellos.
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A)- Así, en el triángulo "1", "1" ,Ѵ2 (negro); sus proporciones son:
a:b=b/a=1 ; a/c = 1:Ѵ2 = Ѵ1/2 ; (a+b):c = (1+1):Ѵ2 = Ѵ2
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B)- En el siguiente que es (rojo) "1", "Ѵ2", "Ѵ3" las proporciones son
a:b = 1/Ѵ2 = Ѵ1/2 ; a:c = 1/Ѵ3 = Ѵ1/3 ; b:c = Ѵ2/Ѵ3 = Ѵ(1/1,5)
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C)- El de color azul que tiene "1", "Ѵ3", "Ѵ4", lleva estas proporciones:
a:b = 1/Ѵ3 = Ѵ1/3 ; a:c = 1/Ѵ4 = 1/2 ; b:c = Ѵ3/Ѵ4 = Ѵ3/4
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D)- Finalmente el verde contiene "1", "Ѵ4", "Ѵ5", y se proporciona como:
a:b = 1/Ѵ4 = 1/2 ; a:c = 1/Ѵ5 = Ѵ1/5 ; b:c = Ѵ4/Ѵ5 = Ѵ4/5
Pero a su vez este triángulo verde guarda la sección áurea en razón:(c:b) + (a:b) = (Ѵ5:2) + (1/2) = 1,118033989 + 05 = 1,618033989... = 
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Como hemos podido ver, el triángulo último en la "serie de hipotenusas" que hemos creado, contiene plenamente la fórmula de "fi"; ya que al ser sus LADOS (a)=1; (b)=Ѵ4; (d)=Ѵ5 . (a/b)+(d/b) = 1,618033989... (número de la "sección áurea", que se dibujaría de este modo -al menos en mi opinión-). Aunque la misma proporción podremos escribirla también con el triángulo siguiente:
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BAJO ESTAS LíNEAS: Dibujado sobre la clave de la iglesia de Pampliega (Burgos) otro modo de representar "fi" (en mi idea); triangularmente y cuando los lados son (a)=1; (b)=2 ; (c)=Ѵ5 .
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Siendo así que:(a/b) + (c/b) = = 1,618033989...
Por su parte este triángulo entero es igual a:
a+b+c = 2 + 2
. Finalmente, sobre el mismo triángulo, en la foto y en líneas amarillas; hemos representado lo que significaría "fi"
 = (½ a) + (½ b) = (½) + (½ Ѵ5) = 0,5 + 1,118033989... =1,618033989...
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BAJO ESTAS LíNEAS: Dibujado también sobre la clave de la iglesia de Pampliega (Burgos); los dos triángulos sagrados de Egipto, de los cuales procede la Sección Áurea y la afinación llamada pitagórica; basada en los intervalos: 1/2, 2/1 ; 3/4, 4/3 ; 5/4, 4/5 ; 5/3, 3/5 .
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