Debido a la extensión del presente artículo, se ha dividido en dos. SIENDO ESTA LA SEGUNDA PARTE, PUDIENDO ENCONTRAR LA ANTERIOR EN MI PÁGINA

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ARRIBA : Sobre un dibujo de Abu Simbel, por Boudier; desde una foto del siglo XIX de Daniel Héron -publicado en HISTORY OF EGYPT por G. MASPERO-. Me he permitido marcar algunas interesantes coincidencias entre la circunferencia y los temperamentos pitagóricos. Todo lo que más tarde explicaremos con mayor detenimiento, aunque ahora resumiré comentando que si trazamos un círculo y hallamos sus razones relacionadas con la Octava. La cuadratura de la circunferencia (un cuadrado perfecto dentro de esta) se halla en razón del cuadrado de dos (Ѵ2) -tal como la el temperamento igual regulado va en razón a la ráiz de dos-. Por lo demás, si trazamos un triángulo dentro de la circunferencia con el tamaño del Radio y del Diámetro. La razón de este será "fi" (logicamente) y el punto en donde corta el círculo a la hipotenusa, es de nuevo igual a Ѵ 5/4; lo que une otra vez La Quinta -que se encuentra multiplicando por 1/4- con la trigonometría. 

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Múltiples son las razones matemáticas que identifican la Octava musical con la circunferencia, aunque Ptolomeo las resume en las leyes que al final de la primera parte recogimos (la última imagen del anterior artículo, en la que junto al hombre vitruviano de Robert de Flud se describía este círculo). Diciéndonos el alejandrino sobre la relación entre la circunferencia y la Octava; que siguiendo el orden de las agujas del reloj:
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-Si el círculo completo (de "A" a "A") es = 12 
-De "A" a "D" = 9 (3/4 circunferencia)
-De "A" a "G" = 8 (2/3 circunferencia)
-De "A" a "B" = 6 (media circunferencia)
-De "D" a "A" = 3 (1/4 circunferencia)
-De "G" a "A" = 4 (1/3 circunferencia)
-De "B" a "G" = 2 (1/6 circunferencia)
-De "G" a "D" = 1
Todo lo que expresado en fracciones de intervalos musicales supondría que:
-De "A" a "A" = Octava
-De "A" a "B" = 1/2 Octava
PROPORCIONES DE "A" a "D" = 9
-De "A" a "D",en relación con circunferencia = 12/9 = 3 · 4/3 = Quinta
-De "A" a "D" en relación con "A" a "G" = 9/8 = intervalo pitagórico de quinta
-De "A" a "D" en relación con "A" a "B" = 9/6 = 1,5 = Quinta platónica o pitagórica
-De "A" a "D" en relación con "D" a "A" = 9/3 = 3 (Octava y media)
-De "A" a "D" en relación con "G" a "A" = 9/4 = 3 Quintas
-De "A" a "D" en relación con "B" a "G" = 9/2 = 4,5 = 6 Quintas
PROPORCIONES DE "A" a "G" = 8
-De "A" a "G",en relación con circunferencia = 12/8 = 3/2 = Cuarta
-De "A" a "G",en relación con "A" a "B" = 8/6 = 4/3 = Cuarta
-De "A" a "G",en relación con "D" a "A" = 8/3 = Cuarta
-De "A" a "G",en relación con "A" a "D" = 8/9 = Intervalo pitagórico Cuarta
-De "A" a "G",en relación con "G" a "A" = 8/4 = 1/2 = Media Octava
-De "A" a "G",en relación con "B" a "G" = 8/2 = 4 = 2 Octavas
PROPORCIONES DE "A" a "B" = 6
-De "A" a "B" en relación con la circunferencia 12/6 = 1/2 = Media Octava
-De "A" a "B" en relación con "A" a "G" = 6/8 = 3/4 = Quinta
-De "A" a "B" en relación con "D" a "A" = 6/3 = 1/2 = Media Octava
-De "A" a "B" en relación con "A" a "D" = 6/9 = Inverso de Cuarta = (1:3/2)
-De "A" a "B" en relación con "G" a "A" = 6/4 = 3/2 Cuarta
-De "A" a "B" en relación con "B" a "G" = 6/2 = 3 = 2 Cuartas = (2 · 3/2)
PROPORCIONES DE "D" a "A" = 3
-De "D" a "A" en relación con la circunferencia 12/3 = 2 Octavas = 4
-De "D" a "A" en relación con "A" a "B" = 6/3 = 2 = Octava
-De "D" a "A" en relación con "A" a "D" = 9/3 = 3 = 2 Cuartas (2 · 3/2)
-De "D" a "A" en relación con "G" a "A" = 4/3 = Quinta
-De "D" a "A" en relación con "B" a "G" = 3/2 = Cuarta
PROPORCIONES DE "G" a "A" = 4
-De "G" a "A" en relación con la circunferencia = 12/4 = 3 = 2 Cuartas
-De "G" a "A" en relación con "A" a "B" = 4/6 = 2/3 = (1 : 3/2) = Inverso Cuarta
-De "G" a "A" en relación con "A" a "D" = 4/9 = fracción de Cuarta
-De "G" a "A" en relación con "B" a "G" = 4/2 = 2 = Octava
PROPORCIONES DE "B" a "G" = 2
-De "B" a "G" en relación con la circunferencia = 12/2 = 6 = 3 Octava
-De "B" a "G" en relación con "A" a "B" = 6/2 = 3 = Octava y media
-De "B" a "G" en relación con "A" a "D" = 9/2 = 3 Cuartas
-De "B" a "G" en relación con "B" a "G" = 4/2 = 2 = Octava
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Tal como hemos visto arriba, si realizamos una circunferencia dándole valor 12 y cortamos en los puntos 9, 8, 6, 4, 3, 2, 1; podemos identificar sus proporciones con la Octava y sus intervalos. Aunque no hay que olvidar que las cifras que Ptolomeo usa no pertenecen a la trigonometría (propiamente) sino son más cercanas al número "Fi" y a sus series. Puesto que las fracciones 1/2; 2/3; 3/4; 4/6; 6/8; 8/9; 9/12 se relacionan con series como las de Fibonacci, pero sobre todo con las divisiones de la proporción áurea (tal como las describe Euclides). Un número que nace cuando la distancia AC/BC = BC/AB ; siendo esta proporción igual a 1,681...; todo lo que resulta "FI" (10). Cifra de oro, que describo personalmente en la relación del triángulo 1; 2; Ѵ5 = cateto "a" (1); cateto "b" (2); hipotenusa "H" (Ѵ5). Pues de sumar el cateto "a" a Hipotenusa y dividirlo por el cateto "b", nacería "FI"; ya que (1+Ѵ5) : 2 = 1,61803... .
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De tal manera, no habría tanta coincidencia con la Octava y la circunferencia en las proporciones que Ptolomeo describe (pertenecientes más bien al mundo del "número de oro"). Aunque existen otros hechos matemáticos que unirían el círculo con la Escala musical, en la forma que recogemos en el dibujo anterior. Donde planteamos que si realizamos un cuadrado perfecto dentro de un círculo, los lados de este serán iguales a Radio por Ѵ2 . Siendo el Seno de 45º igual a Ѵ0,5 (o bien a Ѵ2 : 2), ello es la clave de la cuadratura; pues para calcular el lado del cuadrado interior al círculo bastará con multiplicar su Radio por Ѵ2 (ya que es Ѵ12+12). Pero esta proporción llevada al diapasón igualmente nos dará una nota relativa a una Sexta, ya que si multiplicamos por Ѵ2 un "MI" (por ejemplo, de 330 milímetros), llegaremos al LA# (de 466,69 mm.). Y que de volverse a multiplicar la nota anterior por Ѵ2 (LA#) se regresa al "MI" siguiente, de 660 mm.. Siendo lógicamente este número el que marca la "Sexta" o la mitad de la Escala. De igual forma en el dibujo, se podrá observar que si trazamos sobre el Radio un triángulo de tamaño 1 y 2 (con hipotenusa Ѵ5); la circunferencia cortará en el punto igual a Ѵ5/4; que se relaciona con los Senos y Cosenos y los intervalos musicales, tal como más abajo explicamos.
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SOBRE ESTAS LINEAS: Bajo una fotografía donde vemos la graduación de la Escala en un rodillo de tubos, de un órgano de cilindros fabricado por la firma francesa de Jerome Thibouville y Lamy (propiedad de la Fundación Joaquín Díaz). He dibujado una circunferencia marcando bien los puntos de relación entre esta figura geométrica y la Octava musical (pitagórica, o igualmente temperada). Pues tal como explicamos a continuación, serían los grados 360º y 90º; 45º, 30º, 180º, 270º, 300º y 315º; los que definen bien la unión entre una Escala musical armónica y el círculo (junto a las figuras más elementales trazadas en el interior de este). 

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ABAJO : Bajo una foto de las vistas que se observan desde la muralla de Urueña -población en la que he explicado los pormenores de la afinación pitagórica-. Recojo un diagrama en el que vemos los grados y la parte de la circunferencia correspondiente al lugar en que se asentaría un cuadrado y un triángulo equilátero, trazados dentro de ella (representados en el dibujo anterior). Al lado expresamos su equivalencia en relación a un círculo con valor 12, tal como plantea Ptolomeo. Observándose que si trazamos un cuadrado dentro de un círculo, sus lados -además de equivaler a Ѵ2 en relación al Diámetro-, tocarían en los grados 45º, 135º, 225º y 315º (correspondiendo con 12 a 1,5; 4,5; 7,5 y 10,5). Por su parte, si dibujamos un triángulo equilátero, sus lados tendrían como longitud el Diámetro partido por Seno de 60º (igual a Ѵ3/4); tocando en los grados: 60º, 180º y 300º (correspondiendo con 12 a 2, 6 y 10). Como veremos, sus equivalencias en la circunferencia igual a 12, serían facilmente equiparables a los intervalos de la Octava pitagórica.

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Para finalizar las conclusiones acerca de la relación de la circunferencia y la Octava, diremos que en realidad su unión es mucho más profunda y compleja que tal como lo plantea Ptolomeo. Pues el sabio alejandrino simplemente basa su teoría en otorgar unas proporciones relativas a medidas, marcándolas en el círculo, sin entrar en la interconexión existente entre los intervalos y las figuras geométricas que pueden trazarse en el círculo, o bien sin tratar sobre la relación entre las notas y los Senos o Cosenos. Todo lo que de algún modo he recogido en el dibujo primero sobre estas líneas; donde vemos que para trazar el cuadrado dentro de la circunferencia, habremos de multiplicar simplemente el radio por Ѵ2; obteniendo así unas líneas (que he descrito en verde) que cruzan el interior en sus grados 45º, 135º, 225º y 315º. Puntos cuyos senos equivalen a (Ѵ2 : 2). siendo ello igual a medio intervalo de Sexta en la Octava igual temperada; que vimos era idéntico al existente entre el "MI" y el "LA#" en esta afinación (o entre el "DO" y el "FA#" y etc.).
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Pero si quisiéramos trazar un triángulo perfecto dentro de la circunferencia (marcado en líneas azules), sus lados tendrían la longitud del Diámetro por el Seno de 60º. Por su parte, el Seno de 60 es igual a Ѵ3/4 = 0,866... . Todo lo que significa que siendo 3/4 la Quinta, su ráiz cuadrada es lo que marcaría la triangulación del círculo (tal como Ѵ2 proporcionaba la cuadratura). De tal modo, las fracciones o distancias que nos quedarían desde el grado 90º (ó bien el 360º), hasta cada uno de los puntos que demarcan la cuadratura o la triangulación de la circunferencia, son proporcionales a:
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-Seno de 30º, que es igual a 1/2, igual a la proporción de la Octava
-Seno de 60º, que ya vimos era Ѵ3/4, o raiz de una Quinta.
-Seno de 45º, que ya se explicó es Ѵ1/2 o raiz proporcional de una Octava
-Inverso del Seno de 60º que es Ѵ4/3, relacionado con la Cuarta.
Finalmente y para terminar esta disertación acerca de las proporciones de la Octava y su relación con la circunferencia, hemos de añadir que los tonos y los semitonos pitagóricos se regulan por 3/4 elevado al numero de veces por el que se multiplica. Siendo así, la equivalencia puede verse en el simple hecho del cuadrado y el triángulo (antes descritas como tres y cuatro); correspondiendo a:
Razón del tono pitagórico:
INTERVALO DE TONO = 1/4 : 3/45 = 0,25 : 0,755 
(un cuarto por tres cuartos elevado a la quinta)
0,25 / 0,2373046875 = 1,0534979423868312757201646090535

Ello sucede al multiplicar cinco veces por 3/4 y una por 4, cuyo resultado es

0,755· 4 = 0,94921875 siendo su inverso 0,755 · 0,25

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EL PROBLEMA DEL SEMITONO:
Surge cuando tras multiplicar dos quintas, la tercera ha de pasar de nuevo por la misma nota incial, es decir traspasa la Octava, pues 5+5 son 10, de lo que la siguiente Quinta ya es la Nota 15, debiendo situarse en la 3ª. Es decir, que en el caso de comencemos en MI su Quinta es LA (puesto que contando cinco notas llegamos de MI-FA-FA#-SOL-SOL#-LA). Siendo la siguiente RE (ya que hay cinco de LA-LA#-SI-DO-DO#-RE). Pero al hallar la tercera Quinta habremos de pasar de nuevo por el MI, de lo que se produce una variación de cuenta, provocando el SEMITONO la altaración (RE-RE#-MI-FA-FA#-SOL). De tal modo, entre el FA# y el SOL no quedará finalmente un tono, sinó un semitono, cuya razón es:
SEMITONO = 1,06787109375 = 6 · 3/45
(seis, por tres cuartos elevado a la quinta)
Ello sucede porque hemos de multiplicar en este caso 3/4 seis veces y por la proporción inversa a 6 = (1/6)

1/6 : 0,755 = 0,177978515625 // 1/6 : 0,177978515625 = SEMITONO

(un sexto dividido por tres cuartos elevado a la quinta)

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SOBRE ESTAS LINEAS: Una de las vitrinas del Museo Etnográfico Joaquín Díaz (en Urueña, Valladolid). En esta vemos carracas y matracas, de las que antaño se usaban el Viernes Santo; haciéndose sonar durante horas sus maderas golpeadas en señal de duelo, tras la misa de tarde y después de apagar las velas y luces. El recuerdo de su repicar en Semana Santa hizo que todo sonido incómodo fuera identificado con ellas; llamando carraca a cuantas cosas resultaban desagradables o desajustadas, y matraca a las cosas aburridas o monótonas (como las matemáticas). Arriba he recogido la razón de Tono y Semitono pitagórico, nacidas de multiplicar por 3/4 un mismo intervalo (cinco veces)

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ABAJO : Representación del mundo en El Almagesto y Tetrabiblios, de Claudio Ptolomeo. Como veremos, la última parte de Harmónica consiste en un tratado "esotérico" en el que el autor pretende unir los ciclos del Universo y los sínodos del cielo, con la música; cuyo análisis final comenzamos tras esta imagen.

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CAPÍTULOS X, XI y XII, DE "HARMÓNICA":
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El décimo se intitula "Que la sucesión entre las notas se parece al movimiento longitudinal de los astros" (11) ; donde tal como traduce Pedro Redondo Reyes, el alejandrino comienza expresando: "queden delimitadas hasta aquí las investigaciones relativas al movimiento circular mismo según ambas armonías, y a las configuraciones llamadas comúnmente consonantes y disonantes. A continuación ha de considerarse lo concerniente a las primeras diferencias entre los movimientos celestes". Comenzando con ello la parte propiamente esotérica de este tratado que tanto inspiró a sabios del Renacimiento tales como Kepler o Galileo (principalmente debido a la influencia de las escuelas Neoplatónicas).

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Escribiendo literalmente el geógrafo sobre "los movimientos celestes. Pues bien, éstos son de tres tipos: De longitud (hacia delante y hacia atrás), mediante el que tienen lugar las diferencias desde el orto hasta el ocaso, y al contrario; en altitud (hacia abajo o hacia arriba), mediante el que hacen los movimientos de apogeo o perigeo; y en latitud (hacia los lados), mediante el que nos resulta su pasaje más al norte o más al sur. Al primero, en longitud, podríamos asignarlo razonablemente al paso de las notas hacia las simplemente más agudas o más graves" (12) . Describiendo con ello el irracional concepto pitagórico que unía música y movimientos astrales, afirmando que los sínodos planetarios (de Este a Oeste y de Norte a Sur) se identifican con la altura de las notas, tanto como con su agudeza o gravedad. Uniendo -en la última frase arriba recogida-, los sonidos más claros o altos, con el amanecer, y los más oscuros o bajos, con el atardecer. Todo lo que en mi opinión creo que se debe a que Ptolomeo aquí realiza un paralelismo entre las fases del día y las de la vida. Identificando la infancia con el Orto, en el que la voz del niño es liviana o aguda; y el atardecer con la vejez, donde el anciano tiene un habla grave, tal como apesadumbrado es su ocaso.

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Llegando posteriormente al capítulo once en el que expone plenamente su teoría, manteniendo que los diferentes géneros (o modos de afinar) tendrían una relación con estos giros planetarios. Titulando este con la frase:"Cómo se compara el movimiento en altitud de los astros a los géneros en armonía". En el que expresa: "En cuanto a la segunda de las diferencias, en altitud, descubriremos que es semejante a la de los llamados géneros en armonía. Pues ésta, a su vez, contiene tres ideas, la enarmónica, la cromática y la diatónica" (13). Planteando la idea de que esos modos de templar clásicos pueden compararse con los movimientos celestes, que él describe como de Este a Oeste, de arriba hacia abajo y de Norte a Sur (clasificándolos en tres tipos) . Identificando el primero con las escalas enarmónicas -que como sabemos mezclaban afinaciones por Quintas y Cuartas-. El segundo (de elevación o ascensión de los astros), con la afinación cromática; en principio se basada tan solo en Quintas. Y finalmente, la traslación de los planetas de Norte a Sur, se equipararían para Ptolomeo con los géneros diatónicos. Tipo de temple sobre el que él fundamenta sus teorías; que recordaremos, eran Escalas de siete Notas en las que entre ellas solo había intervalos de Tono (sin semitonos).

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Todo antes expresado carece de lógica y menos de planteamiento científico; aunque ha sido fuente de inspiración para investigadores de la talla de Newton, Kepler o Galileo. Quienes al igual que los pitagóricos, Platón y Ptolomeo; increiblemente relacionaban la armonía del Cosmos con la musical. Haciéndolo de un modo muy particular y más cercano a la magia o a la astrología, que a cualquier posible hipótesis académica. Pese a todo, son innegables los numerosos avances logrados por los seguidores de estas filosofías; ya que la astrofísica y mecánica celeste modernas, parten desde las leyes de Kepler y las de Newton (nacidas del "sueño pitagórico"). Una idea imaginaria que Ptolomeo amplia en su capítulo duodécimo, exponiendo que incluso la modulación de los Tonos tiene conexión con estos sínodos astronómicos. Encabezando ese epígrafe doce con el título: "Que también las modulaciones de tonos corresponden a los pasajes en latitud de los astros" ; y donde detenidamente explica que: "la tercera y última diferencia entre los movimientos celestes (me refiero a aquélla según la latitud), hay que ajustarla a las modulaciones de tono" (14) .

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Frase anterior en la que expresa como la altura del giro planetario (el movimiento en sentido Norte-Sur), es lo que marcará los Modos musicales en la "armonía universal". Modos que -como sabemos- inicialmente y en el concepto clásico de las afinaciones griegas, eran ocho (comenzando cada uno por una Nota distinta de la Octava). Idea con la que concluye esta parte, planteando que los sonidos van de más agudos a más graves, conforme se orienten los astros de Este a Oeste. Mientras la posición planetaria de Norte Sur, marcará el valor del Tono (la Nota y su intervalo con las demás). Siendo así, podemos interpretar: Latitud igual a valor del Tono, y Longitud igual a sonido más o menos grave. Lo que podemos traducir por la idea de que los grados del Meridiano marcarían las distancias de los intervalos (las Notas), y los Paralelos fijarían si estas pertenecen a una escala más alta o baja. Todo lo que expresamos en el siguiente dibujo, en el que podremos ver los doce primeros usos horarios (identificados como Escalas), y doce o siete cortes en el Meridiano -que equivaldrían a las Notas-:

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ARRIBA : Planisferio astral según el navegante Pieter Dirkszoon del siglo XVI, propiedad del Museo Arquelógico Nacional (al que agradecemos nos permita divulgar la imagen). Es este uno de los muchos discos zodiacales, fabricados en bronce y sobre los que dibujaban Grados, o las Constelaciones, con el fin de orientarse -fudamentalmente usado por los marinos, al menos hasta la aparición de los sistemas surgidos tras la Revolución Francesa-. En mi opinión, durante la Antigüedad pudieron realizar iguales ingenios, simplemente dibujando coordenadas sobre una placa redonda de metal; de ello, quizás la sacralidad del espejo en muchas de las religiones ancestrales y pertenecientes a pueblos que estudiaban los astros. Habiendo sido muy conocido ese tipo de sextantes desde hace miles de años, la Historia supone a Aristarco, y al mismo Ptolomeo, como sus inventores o divulgadores -atribuyendo fundamentalmente al alejandrino, la Esfera Armilar-.

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Sobre este que vemos en la foto, he dibujado los doce usos horarios, a modo de meridianos y trazados de Norte a Sur (en color granate). Bajo aquellos, he marcado las horas en un día de equinoccio; momento en que el Sol sale a las seis de la mañana y se esconde a igual hora de la tarde (tal como vemos abajo escrito). Esos Grados de Longitud, según Ptolomeo se corresponderían con el sonido más agudo o más grave de cada Escala. Por su parte, el valor de las Notas en sus Octavas se recogen en los Paralelos; tal como indica el alejandrino (con lineas azules). Quien explica que la notación se corresponde con la situación de los astros de Norte a Sur y que en primer término he dibujado con las doce Notas pitagóricas (escritas en blanco -conforme a los modos cromático y enarmonico-). Mientras la segunda opción (ajustada a la teoría del alejandrino), la expreso en color negro y representaría a los géneros diatónicos o de siete Tonos.
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Partiendo de estas premisas y considerando que el "DO" o el "RE" se sitúan en un punto determinado de Latitud; tras ello, el grado de agudeza o gravedad de estas Notas se marcaría, por una situación Este-Oeste (Longitud). Es ello lo que nos viene a decir Ptolomeo; de lo que considerando en qué lugar observasen los astrónomos los siete planetas (que se identificaban con las siete notas), podíamos relacionar esas orientaciones con una situación perfecta o afinada en el diapasón -en la Armonía Mundi-. Así por ejemplo, si consideramos al astro rey (el Sol) como un "MI"; su orientación perfecta y armónica, se daría cada fecha de Equinoccio (23 de Septiembre o Marzo) y a las doce del medio día. A partir de ello, marcando un punto calendárico para cada planeta, podremos trazar una serie de relaciones entre astros y tonos (modos, notas, géneros y etc); todas ellas unidas a las posiciones y giros del Universo. Algo que aún pareciéndonos absurdo despertó el interés de personalidades tales como Kepler o Newton, llegando estos genios de la mecánica celeste a generar sus teorías, basándose en hipótesis que partirían desde estas inimaginables premisas. Todo lo cual nos hace plantearnos si la inteligencia no procederá de un sueño revelado; o bien si todos aquellos que no estén dispuestos a imaginar algo bello o a "soñar la ciencia", podrán crear algo verdaderamente valioso y nuevo.

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ABAJO : El Hemisferio Austral dibujado por Alberto Durero a principios del siglo XVI -xilografía publicada hacia 1515-. En esta imagen podemos ver las Constelaciones principales (como Orión, Can Mayor, Hidra etc) trazadas sobre el cielo, conforme a los "doce movimientos" y usos horarios. Con este dibujo, es fácil comprender mejor la relación entre las Escalas y las Constelaciones, tal como la entendían en el Renacimiento. Ello, junto a los signos del Zodiaco que marcaban el futuro del hombre; fueron extrañas fórmulas con las que concebían el Mundo, el Cosmos, la vida y la música, desde tiempos de Pitágoras a Ptolomeo y de Ptolomeo a Newton. 

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CAPÍTULOS XIII Y XIV:
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Llegamos así hasta el decimotercer epígrafe, llamado "De la analogía entre los tetracordios y los aspectos del Sol", en el que el autor escribe: "siendo asignados los tonos disyuntivos a las distancias desde las puestas heliacales hasta los ortos heliacales, y a las oposiciones o a los plenilunios. (...) la Luna en su cuarto, para que el aspecto desde cada orto y en la primera lúnula sea comparado con el tetracordio inferior, al ser común el comienzo, de nuevo, del orto y de las notas más graves (...) Las distancia desde las puestas heliacales hasta los ortos, como en la heliacales, y en las oposiciones desde los ortos vespertinos hasta los ocasos matutinos, o en las manifestaciones de plenilunio, están muy cerca de una dodecatemoria" (15) . Todo lo que pese a parecernos ilegible o incomprensible, viene a expresar que la Luna, por la duración de sus ortos y ocasos, tanto como por la de sus sínodos (de 29,53 días); se relacionará según Ptolomeo, con los sonidos que él llama "tetracordio inferior" pero que se corresponderían con las Notas 4ª, 5ª y 6ª de su Escala. Tonos que "traducidos" de algún modo a nuestra notación, se correspondería con el "FA", "SOL" y el "LA" (en su primera serie, pues ya sabemos que el alejandrino repite dos veces la Octava).

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Lo que justifica el sabio diciéndonos que ello se debe a que los sínodos lunares están muy cerca de la "dodecatemoria", con respecto a los heliacos (los amaneceres, ciclos vespertinos o la situación de Venus y el Sol). Dodecatemoria que significa "doce veces la doceava parte" del giro astral, lo que igual a 1/144 del total de grados en un círculo; y lo cual supone expresar que son 2,5 Grados -ya que (12 ·12 · 2,5) = 360-. Siendo así, para Ptolomeo la variación de grados de la Luna sería de 2,5º ; por lo que justifica que sus Tonos se moverían en el tetracordio inferior, que cubría las Notas 4ª, 5ª y 6ª (correspondientes a nuestros "FA", "SOL" y "LA"). Aunque también podríamos considerar lo que el geógrafo refiere, interpretando como esta Dodecatemoria, un ciclo lunar que oscilaría entre los 0º y los 144º (grados) de la circunferencia astral. Siendo esta otra hipótesis para intentar comprender tan difícil idea descrita en las frases antes recogidas. Donde quizás expresa que 12 · 12 meses lunares (144 · 29,53 días) se corresponden de algún modo a 12 años solares. Ya que (144 · 29,5 = 4248 dias) ; pues 12 años del Sol eran en época del alejandrino unos 4383 días -(365,25 · 12 = 4383).

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Sea como fuere, parece que el criterio que aplica es el de contar doce desde la última nota, y dado que su Escala tiene quince, se queda en la cuarta Nota para comenzar a considerarla la correspondiente a la Luna. Por último queda pensar que la referida "dodecatemoria" pudiera tratarse de una fracción relativa a 1/12 o bien a (1 : 3·4), significando que este número doce que marca los sínodos lunares pudiera relacionarse con el sistema de Quintas, que como sabemos multiplicaba por 3/4 cada nota. Algo que se desprendería quizás de la expresión "tetracordio inferior", marcando que el planeta de Selene se halla bajo la influencia de este número a la inversa. Es decir de (1 : 3/4), lo que es lo mismo a 4/3 y que ya implica una relación plena con la Cuarta y con un posible "tetracordio" y su "dodecamoria"... .

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Después de tal complejidad de conceptos y asimilaciones vistas, llegaremos a la parte del texto con redacción apócrifa -realizada por Nicéforo Gregorás-. Lo que encontraremos en el capítulo catorce, denominado: "Mediante qué primeros números las notas fijas del Sistema Perfecto podrían compararse con las primeras esferas en el universo". Donde leeremos las siguientes palabras: "Así pues, podríamos comprender, sobre todo por tales semejanzas, lo que de común hay en las correspondencias entre las diferencias a partir de intervalos melódicos y las de los movimientos celestes. Resta examinar también lo que se puede observar de modo particular con fiabilidad" .

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COMENZANDO AQUÍ LA REDACCIÓN DE GREGORÁS en la que Harmónica nos sigue diciendo: "Pues si todo el círculo es dividido en 360 partes, cuando la Luna o cualquiera de los planetas llegue a una posición diametralmente opuesta al Sol , entonces la distancia entre ellos será de 180 partes (...) trígono entre sí, entonces decimos que las separa unas de otras un intervalo de 120 partes; pues éstas, cuando son triplicadas, completan el número de todo el círculo, o sea, 360 (...) tetragonal entre sí, entonces afirmamos que las aleja unas de otras un intervalo, en la circunferencia, de 90 partes; pues, a su vez, cuatro veces 90 hacen igualmente 360. (...) sextil, entonces decimos que tal distancia es de 60 partes; pues seis veces 60 hacen otra vez 360. (258) (...) el Sistema Perfecto de la música es comparado con éstos, las notas fijas lo serán con la posición de estos intervalos numéricos, de la siguiente manera: la "proslambanómeno" con la posición de las 180 partes, la "hípate del tetracordio medio" con la posición de las 120 partes, la "nete del tetracordio disjunto" con la posición de las 90 partes, y la "nete del tetracordio" añadido con la posición de las 60 partes" (16) .

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Palabras que para nada nos serán extrañas, pues lo que expresan son ideas anteriormente vistas y que identifican los intervalos con las divisiones de la circunferencia. Afirmando en este caso que la nota "proslambanómeno" tendría un valor de 1/2, por lo que este Tono habría de ser la repetición del primero en una escala más alta (es decir, si es "DO", otro "DO", equivaliendo así a la mitad del círculo). Seguramente, por tratarse ya de una parte apócrifa de la obra Harmónica, creemos que lo descrito en las frase anterior contiene un gran error. Ya que "proslambanómeno" es la segunda y no la Octava Nota -siguiendo a Mese, que es la primera- (comprobar lo digo en los cuadros e imágenes del principio de este artículo -al comienzo de la primera parte-). Por todo cuanto aquí se confunde el intervalo de 1/2, con lo que simplemente es el segundo Tono de la Escala. Ya que si repasamos la lista de nombres que Ptolomeo daba a las Notas, sabremos que "MESE" era la primera, "proslambanómeno" la segunda; tanto como a 1/2 y a 1/4 de "MESE" se hallarán "PARIPATE del T.M." y "PARANETE del T.A" (es decir, las Notas 8ª y la 15ª).

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Además, en el texto recogido más arriba, situaba a "hípate del tetracordio medio con la posición de las 120 partes", todo lo que en realidad hemos de interpretar como 120º grados, o como un tercio de la circunferencia. Un punto donde afirma estaría la Nota séptima, que en nuestro sistema se correspondería con un "SI"; lo que significaría que para Ptolomeo, esta Nota valdrá 1/3 de la que le sigue. Es decir que si situamos el "SI" en el milímetro 220 de la sexta cuerda en la guitarra, el "DO" habría de estar tres veces más alto (en el milímetro 660). Lo cual es absolutamente incierto; aunque el error del texto que analizamos se halla en confundir de nuevo el tipo y el nombre de la Nota, ya que este punto correspondiente al milímetro 660 es el de nuestro "MI" y no el del "DO" (como el apócrifo autor indica). De un mismo modo, coloca a "nete del tetracordio disjunto con la posición de las 90 partes, y la nete del tetracordio añadido con la posición de las 60 partes". Algo que en realidad hemos de interpretar como los grados 90º y 60º, que se corresponden a 1/4 y 1/6 de la circunferencia. Una afirmación que en este caso vuelve a ser errónea, puesto que a 1/4 de la 1ª Nota siempre está otra igual, dos escalas más altas o bajas (correspondiendo en este caso con la 15ª en las de Ptolomeo; es decir con la distancia de MESE a PARANETE DEL TETRACORDIO. Ya que un Tono dividido dos veces en su mitad, simplemente sube o baja dos Octavas -de DO1, a DO3 -). Volviendo a errar el texto apócrifo al final, cuando afirma que a una sexta parte estaría el equivalente a nuestro "SI3"; como 1/6 del "DO1". Puesto que allí se encontraría otro "MI"; ya que 1/3 y 1/2 son simplemente los mismos intervalos que 1/6 y 1/4, aunque transportados a otras escalas superiores o inferiores.

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ARRIBA: Maravilloso fresco llamado El Cielo de Salamanca, obra del pintor renacentista castellano Fernado Gallego y hoy en el claustro de los Colegios Menores (agradecemos a la Universidad salmantina nos permita divulgar la imagen). En ejemplos como esta bellísima decoración de una cúpula, se observa el modo en cual durante los siglos XV y XVI habían aflorado los sentimientos neoplatónicos entre las élites más cultas de Europa. Quienes no dudaban en representar los signos del Zodiaco, junto al diseño de un Cosmos astral, que de un modo mágico convertían el techo de una iglesia en "el cielo de la casa de Dios". Con su Universo imaginario, cargado de mística, misterio y hasta de magia.

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ABAJO: Arco principal de entrada a la iglesia de Santiago, en la Plaza de Úbeda. Esta fachada, obra del genial arquitecto renacentista Vandelvira, representa a los planetas, sus deidades y algunos de sus atributos. En primer lugar y en la parte alta vemos a Saturno, el dios del sábado presentado como un "Cronos" a modo de un "Dis pater" (el padre de lo infernal, entendido cercano a Hades). Bajo este, su hermano Júpiter (dios del jueves) vencedor y rey del Olimpo, que porta la luz del rayo y toma la ambrosía. Abajo, Efebo-Apolo, deidad de la música y del saber. En la siguiente casilla, Venus (diosa del viernes) tañendo una guitarra que increiblemente tiene ya seis cuerdas -aunque comunmente se piensa que esta época, la vihuela o las "guitarrillas" descendían aún del cuatro y tan solo tenían "cinco órdenes"-. Mas abajo, Hefaistos-Vulcanos, deidad de la metalurgia y creador de las armas, didad de los cultos "ctónicos" cercanos a los de la Cibeles frigia.

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Finalmente veremos a Neptuno, cerrando el círculo derecho de este arco. Este tipo de representaciones que unían el cielo, los dioses del Olimpo, la religión cristiana y los astros, son comunes en el Renacimiento más cultivado. Un tiempo en el que se inicia la traducción de obras clásicas desconocidas y en parte olvidadas para Europa (permitiéndose en Italia las interpretaciones neoplatónicas, la astronomía y hasta la magia). Algo que aumenta tras la llegada de bibliotecas venidas desde la decrépita Constantinopla; libros desconocidos que fueron en parte origen de la filosofía y el saber que se extendió durante los siglos XV y XVI. Motivado en gran parte por la venida de refugiados desde Grecia o Turquía; quienes huyendo de los otomanos traen hasta tierras itálicas (de Francia, España, Inglaterra o Centroeuropa) la cultura acumulada y recordada durante milenios en Bizancio. Motivo por el cual renacieron escuelas como las de Platón o la de Pitágoras, reavivando teorías con miles de años de antigüedad, gracias a las cuales surgieron sabios como Copernico, Kepler o Galileo.
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CAPÍTULOS Y CONCLUSIONES FINALES A "HARMÓNICA", DE PTOLOMEO:

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Llegamos así a las dos últimos capítulos que se conservan de la obra, aunque después del numerado como XVI, esta se halla inacabada. Olvido o destrucción del final de Harmónica seguramente debida a no transcribirse en los monasterios, por consistir desde este momento en un texto esotérico y de carácter casi mágico -más que de una obra musical-. Siendo el capítulo XV simplemente una continuación del anterior, en el que "extrañamente" repite de nuevo lo expresado sobre la circunferencia en epígrafes ya analizados, donde Ptolomeo nos dice otra vez ideas muy semejantes, escribiendo (en este caso a través de Nicéforo Greogorás):

"Cómo se podrían comprender, mediante números, las razones de sus movimientos respectivos": "el número de la distancia cuadrangular, 90, tomado como medio entre las 120 partes de la distancia triangular y las 60 de la hexagonal, producirá dos intervalos de razones sesquiáltera y sesquitercia, a semejanza de las dos primeras consonancias de la armonía, la quinta y la cuarta" (17). Frase muy compleja, pero que tan solo significa como la Cuarta (el valor de una nota multiplicado por 2/3) equivale a tres cuartas partes del círculo; es decir a (120º · 2) con respecto a 360º. Tanto como el intervalo de Quinta (3/4), se correspondería con (90º · 3) en referencia a estos 360º del giro completo. Por cuanto los intervalos que van naciendo de las Quintas y Cuartas (multiplicando las notas por 3/4, o por 2/3), son proporcionales a los cortes comunes en la matemática de la circunferencia. Es decir, a: 60º y 90º; junto a 120º, 180º y 240º; cifras en grados, cuya trigonometría es especialmente sencilla.

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El siguiente y último capítulo fue titulado:"Cómo podrían compararse las relaciones entre los planetas con las de las notas", donde nos dirá: "Nadie se sorprenda una de las luminarias de que la nota de Júpiter está en consonancia con cada, en tanto que la de Venus sólo con la de la Luna, puesto que el tono no está en una razón de consonancia. Pues esta nota de Venus tiene su origen en el dominio lunar, mientras que la de Júpiter está comprendida en el solar, por las mismas razones. Ya que también cada una de las notas que producen destrucción hace la consonancia de cuarta con cada una de las que son beneficiosas (la nete del tetracordio añadido de Saturno respecto a la nete del tetracordio disjunto de Júpiter, y la nete del tetracordio conjunto de Marte respecto a la mese de Venus), como consecuencia también la nota de Saturno fue en mayor medida del dominio solar, y la de Marte del lunar. Por esto, ocurre que, de entre los aspectos, los de Saturno respecto a Júpiter son todos beneficiosos, en tanto que los de Saturno respecto al Sol sólo los trígonos, al ser más consonantes que el resto. Igualmente, a su vez de los de Marte respecto a Venus y la Luna, no todos lo son trigos, sino sólo los trígonos; y al contrario, los de Saturno respecto a la Luna y Venus todos malignos, mientras que los de Marte respecto al Sol y Júpiter, todos inestables" (18) .

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El párrafo anterior es de un gran interés, puesto que muestra las formas de comprender la música y el todo, unido en el número 7, que dominaba los 7 planetas o los 7 días de la semana, tanto como las 7 Notas -que se convierten en 12-. Siendo ellas las que simbolizaban el devenir de la vida por voluntad de los dioses, y que como los meses del año o las jornadas semanales eran:

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1º-.La del Sol o el domingo, cuyo metal fue el oro y que habríamos de traducirlo a la nuestra notación como un "MI" o un "SI" (al no tener epiciclos el Sol).

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2º-.El día de la Luna (lunes), dominado por la plata y cuya Nota ha de ser igualmente un "SI" o bien un "MI". Ya que la Luna, al igual que el Sol, carecían de doble órbita (o ciclos irregulares al ser observados desde una inmóvil Tierra); epiciclos que, como sabemos, fueron entendidos como semitonos.

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3º-.La jornada de Marte o martes, estaba dominada por el hierro, metal de la guerra y cuya nota debió de ser el correspondiente a nuestro "DO" o bien al "FA". Ambas como continuación del "SI" y del "MI" y representando al primer planeta de la semana con epiciclo. Ya que al observarse desde una Tierra inmóvil, se pensaba que Marte adelantaba o atrasaba en sus giros (por lo que se le concedían dos órbitas y dos Tonos "DO" y "DO#" , o bien FA y FA#).

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4º-.Le seguiría el día de Mercurio, del mercado (miércoles), que dominaba este metal que limpiaba el oro y la plata. Planeta que debió identificarse con nuestro "RE" o con el "SOL" (nota musical). Ambos como continuación del martes y del "DO" ó el "FA", ya que también Mercurio tenía dos tipos de giros tanto a identificar con esos posibles dobles tonos ("RE#" y "SOL#") .

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5º-.A continuación llegaría el día de Júpiter (jueves) dominado por el estaño valiosísimo antaño para alear bronce y que se identificaría con nuestro "FA" o bien con el "LA" (igualmente simbolizando los epiciclos de Júpiter en el "LA#" o bien en el "FA#").

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6º-.Seguiría el dia de Venus, el viernes, marcado por el cobre y que pudo corresponder con nuestro "DO" (o en su caso, con el "SOL", nota musical) igualmente por contener dos tipos de órbitas.

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7º-.Para terminar con la jornada de Saturno (el sábado) que marcaba el plomo y debió identificarse con el "RE" o bien con el "LA". Y como este último planeta, al observarse desde una -hipotética- Tierra inmóvil, también se vió con dos giros distintos, ello se representaría en notas equivalentes a nuestro "RE#" (o en su caso al "LA#").

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Estos Tonos, cuyas correspondencias hemos transcrito a nuestra notación y sus valores, serían los que se tomarían como principios de una Armonía Mundi relacionada con la del Universo. Bien en una serie de 12 Notas (con tonos y semitonos, como el sistema pitagórico expresaba), o bien el la forma que expone Ptolomeo -quien tan solo admitía una Octava de 7 Notas-. Construyéndose así esta teoría de la Armonía Mundi, como una hipótesis -por medio del sonido, la belleza, el número y lo sublime-; pasando a ser un compendio de saberes matemáticos y astronómicos, con los que se creó una de las filosofías más complejas y extrañas imaginables. Pensamiento que unía la música con las distancias y los sínodos de los planetas, tanto como la armonía acústica con la compresión del Tiempo y el Espacio.

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Generando la creencia de que los astros, como las notaciones en las Escalas, atendían a un complejo juego creado por Dios en el que a través del número, la física, la belleza, el equilibrio y la matemática, se definían los deseos y la intención del Creador. Por todo lo que a través del estudio de ellas, se podía ascender a la comprensión de lo divino y del sentido del Cosmos. Algo que por extraño que parezca influyó y fue seguido por personajes de la talla de Galileo, Kepler, Newton o Robert Flud Quienes basándose en tan extraños como bellos pensamientos, dieron un giro a la Historia de la ciencia. Tanto que el mismo Kepler deseó terminar el inacabado texto de "Hamónica", definiendo el sonido de cada astro; en la conocida partitura de su obre Armonía Mundi (que bajo estas líneas podremos ver en imagen).

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ARRIBA: Famosa página 207 del capítulo V de la obra de Kepler, en la que el autor quiso terminar la obra perdida de Ptolomeo, expresando en partitura los sonidos de cada astro. Obsérvese que ya Kepler se considera la Tierra un planeta que gira y por lo tanto una Nota musical, quedando el Sol como cuerpo celeste central e inerte, cuyo sonido sería el cúmulo de los demás en el intermedio en el Cosmos.

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ABAJO: Efigie imaginada de Eratóstenes de Cirene, antecesor y precursor de Ptolomeo. Las figuras de ambos sabios -pese a estar separadas por cientos de años- se asemejan enormemente. No solo por haber llevado los dos la direcciòn de la Biblioteca de Alejandría, sino por ser astrónomos y conocedores de amplias ramas del saber, obtenidas gracias a su capacidad de acceder a los archivos de la institución que dirigían. Eratóstenes escribió igualmente un tratado sobre música, que no nos ha llegado, aunque muchas de sus premisas (o conceptos) se citan por autores posteriores -entre ellos por Ptolomeo-. Los estudios de los dos sabios también presentan un mismo y "extraño enigma", como es el de definir ideas o plantear problemas (de matemática, de física, de geodesia) de un modo irresoluble; aunque increiblemente llegan a resultados exactos (sin contener los datos correctamente tomados, ni las bases bien planteadas).
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Ello, hasta el punto de haber conseguido Eratóstenes medir el Meridiano, con una precisión asombrosa; pero partiendo premisas indefinidas, erróneas o confundidas. Todo lo que nos obliga a suponer que el de Cirene "tomó" aquellas fórmulas, desde textos más antiguos contenidos en la Biblioteca, aunque tras ello, no pudo razonar bien sus conclusiones. Quedando irresoluto puntos como el por qué, tras calcular el arco del Meridiano y plantear sus datos de forma inexacta, el sabio añadiera unos 32000 metros más, para así llegar a un resultado casi exacto en el tamaño de la Tierra. Todo lo que muestra que posiblemente utilizaba fuentes más antiguas (que no citó) pudiendo conocer el modo en que los antiguos egipcios medían las sombras los mismos días del año y descifraban con ello el perímetro del Globo terráqueo -un mismo problema plantean los textos musicales de Ptolomeo; quien tampoco sabe explicar parte de sus teorías recogidas Harmónica-.
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CONCLUSIONES FINALES:
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Antes de terminar esta larga serie de artículos en los que hemos tratado extensamente sobre la obra de Ptolomeo y del significado de la música en la etapa grecorromana. Desearía agradecer de nuevo a Pedro Redondo Reyes la enorme labor de haber traducido este tratado del alejandrino ("Harmónica"), a través del cual se puede demostrar como hace dosmil años, la matemática, física y hasta la filosofía, astronomía y astrología; eran unas mismas disciplinas que la música. Aunque lo más destacado de la obra que hemos analizado, es como nos muestra su pertenencia a una doble tradición cultural. Una cultura nacida del Nilo y el Éufrates, llegada a la Hélade y dominada en los días de Ptolomeo ya por Roma. Perteneciendo su saber Grecia, evidentemente interpretaba la música siempre unida al cálculo, a las ciencias y a la filosofía. Pero conservan sus escritos parte de las raices egipcias; transmitiendo unos conocimientos, adquiridos probablemente tras haber leido textos musicales y matemáticos muy antiguos, pertenecientes a la biblioteca (procedentes de los más remotos periodos faraónicos). Ello, unido a las teorías pitagóricas que formula Harmónica -pese a no admitir el pitagorismo-, nos transmite los pilares desde los cuales sustentaba todo el saber de la acústica y de la armonía en su tiempo. Observándose primero su influencia del Mundo más antiguo y posteriormente la del clásico. Todo lo que convierte a la obra del alejandrino en un auténtico tesoro que nos puede hacer comprender mucho acerca de cómo vieron los antiguos griegos el arte del sonido; gracias a la herencia de Egipto y de la Babilonia milenaria (tal como sucedió con el calendario, su mitología y su ciencia).  

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Cuanto escribo -comentando el origen milenario de la música grecorromana-, procede de evidenciar que durante el tercer y segundo milenio a.C., ya hubo complejos instrumentos musicales en Sumer o en tierras faraónicas (y hasta en las hititas). Panduras, arpas y liras, plenas de cuerdas y trastes; en formas que claramente parecen responder a Octavas, y en su gran mayoría de doce notas. Cuanto indica que siglos antes a la existencia de Grecia, hubo ya escuelas y ciencias que desarrollaron la técnica del temple, llegando a conformar las teorías y filosofías que en el siglo VII a.C. aprendería Pitágoras en el Nilo o en Mesopotamia. Ideas que -como hizo son su teorema- importaría el sabio de Samos hasta Magna Grecia, aunque no consiguió se mantuvieran en secreto y trasmitidas para una minoría -de un modo ágrafo, tal como pretendió-. Pues aunque la secta pitagórica prohibió que estas enseñanzas se escribieran, para que no se divulgasen a ajenos al grupo (actuando de un modo similar al de los maestros de templos egipcios o babilonios). Los discípulos del samio terminaron por redactarlas y enseñarlas libremente, tal como todo heleno hacía con los conceptos de la ciencia, para que no se perdieran -o con el fin de que permanecieran entre las generaciones venideras-. Aunque tras la lectura de "Harmónica", vemos como ya en época de Ptolomeo, las teorías pitagóricas habían quedado incomprendidas y en desuso, permaneciendo algunas de sus premisas en el recuerdo, pero estando olvidados muchos de sus fundamentos.

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La frase anterior me atrevo a redactarla después de analizar como en infinidad de ocasiones el geógrafo alejandrino dictamina -o propone- una hipótesis, que termina por no poder explicar totalmente. Los últimos ejemplos de ello, los hemos visto en los anteriores capítulos estudiados. Donde pretendiendo el sabio, equiparar el Orbe celeste con la circunferencia y con su trigonometría; queriendo unir todo ello con el llamado "círculo de Quintas" (las Escalas). No es capaz finalmente de marcar siquiera qué Notas han de valer 1/2 de otras (intervalo de Octava); ni menos, cuales se corresponden en 1/3 , 1/6 y 1/4. Todo lo que podrá parecernos normal, pero tan solo es comparable con los problemas que presenta la obra del otro bibliotecario de Alejandría: Eratóstenes de Cirene. Quien se propuso siglos antes que Ptolomeo medir el tamaño del meridiano; iniciando el estudio con datos erróneos (puntos de referencia, distancias etc). Pese a lo cual llegó a la conclusión de que la Tierra tenía unos 250.000 estadios egipcios; terminando por añadir inexplicablemente a esa cifra 2000 estadios más, llegando a dar un perímetro casi exacto -con una longitud de unos 39.700.000 metros; muy cercana a la del Meridiano (de 40.000 kilómetros)-. Aunque nadie puede razonarnos aún en nuestros días, cómo partiendo desde unos datos falsos y con un planteamiento equivocado; Eratóstenes de Cirene calculó el arco con esa perfección. Todo lo que no tiene otra explicación más, a que el sabio encontrase en la biblioteca de Alejandría textos antiguos egipcios, donde se indicara el tamaño de la Tierra y el modo de medir las sombras y las distancias. Interpretándolos desde el egipcio antiguo, pero fallando de principio a fin en sus planteamientos, pese a acertar casi plenamente en el resultado.

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Unos hechos que (como he venido refiriendo) se observan también en la obra musical de Ptolomeo; quien en numerosas ocasiones no sabe justificar plenamente aquello que describe, aunque cuanto recoge tenga plenamente sentido matemático y físico. Siendo el dato más llamativo cuando nos dice que la Octava ha de tener 7 notas y nunca de 12; exponiendo que el semitono es una impureza (filosófica, ética y aritmética). Motivo por el cual genera una Escala de 15 notas, aunque esta es simplemente la repetición de dos Octavas (lo que en nuestra notación sería:

-DO /RE /MI /FA /SOL / LA/ SI/ DO/ RE/ MI/ FA/ SOL/ LA/ SI/ DO-)

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Pasando a explicar y razonar posteriormente, que el Cosmos entero se mueve y está dominado por los números 5, 7 y 12. Todo lo que cuadra a su juicio con su Escala de 15 Tonos ¿...? . Un criterio absolutamente incierto, pues 15 nunca puede ser 12, ni tampoco nace desde las cifras 5, 7, 12. Mientras a su vez el alejandrino desprecia repetidamente el sistema pitagórico, que sí templaba de un modo en el que llegaban a crear 12 Notas (7 Tonos enteros y 5 Semitonos). Lo que cuadra y encaja con las cifras sagradas y con las calendáricas en una hipotética "armonía mundi " (equiparándose los sonidos con los días de la semana, el número de planetas, los meses del año y etc).

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Por cuanto decimos, parece que en época de Ptolomeo ya había una regresión musical de gran importancia. Tanta que esos siglos del alejandrino debieron ser incapaces de comprender la teoría pitagórica del número, unida a la música y plasmada sobre las estrellas (como un planteamiento inicial). Lo que explica que cuantos Modos aparecen en este tratado de "Harmónica", tan solo conciben Octavas de 7 notas (tras divagar en infinidad de formas para hallar sus intervalos). Siendo las Escalas que nos presenta, simples hipótesis sobre la forma de dividir la Octava en siete partes proporcionales; pero nunca acertando con fracciones tan cercanas a Lambda como las que ya los pitagóricos conocían (simplemente multiplicando por 3/4 cada nota). Ello nos obliga a entender que en los siglos de Ptolomeo, la ciencia de la música estaba en plena regresión. Todo lo que explicaría por qué gran parte de la musicología moderna entiende que las Escalas del Mundo antiguo eran Heptatónicas (tal como expresaba el sabio de Alejandría), sin conocerse por entonces, todavía, los 12 Tonos. Un tema acerca del que hablaremos en nuestros siguientes artículos.

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ABAJO: Retrato imaginario de Ptolomeo, portando un sextante en forma de alidada de cuerdas. Estas ballestillas a mi juicio pudieron dar origen al "Ank" o cruz de Isis egipcia, por la importancia que debió tener orientarse con estos ingenios cuyo funcionamiento era tan sencillo como eficaz. Basándose en unas reglas cruzadas unidas por cuerdas, con las que se podía calcular perfectamente la longitud en base al triángulo formado entre la mira central y el vástago central movible.

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CITAS:
(10):
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A_______________B_____________________C (linea con tres secciones que son):
_______________AB                            
______________________________________AC
____________________BC
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Cuando la distancia de A a C, dividida entre la que hay entre B a C; es igual a la longitud de B a C,dividida por la que hay de A a B. Es decir:
AC / BC = BC / AB
Es decir cuando AC/BC = BC/AB = 1,681...= "FI"

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(11): Op. Cit. (2) (pags 252 y ss.)
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(12): Op. Cit. (2) (pag 253)
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(13): Op. Cit. (2) (pag 255)
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(14): Op. Cit. (2) (pag 256)
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(15): Op. Cit. (2) (pag 257)
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(16): Op. Cit. (2) (pag 258)
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(17): Op. Cit. (2) (pag 259)
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(18): Op. Cit. (2) (pag 260 y ss)
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