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SOBRE ESTOS PÁRRAFOS: "Retrato imaginario" de Claudio Ptolomeo, en tabla atribuida a Justo de Gante (Ioos van Wassenhove) y Pedro de Berruguete -hacia 1477-; pintada para la denominada "sala de hombres ilustres" del Studiolo de Federico de Montefeltro -Palacio ducal de Urbino- y que actualmente pertenece al Museo del Louvre (institución a la que agradecemos nos permita divulgar la imagen). Dicha "loggia" denominada "Studiolo" contenía la efigie de los veintiocho sabios, filósofos y teólogos de la Historia y se situaba sobre una extraña capilla que daba al jardín del palacio. Siendo su función la de venerar la búsqueda del bien y de Dios a través del conocimiento y del estudio (de allí su nombre); una idea plenamente renacentista. En la parte inferior de la tabla en imagen -que no hemos incluido- podremos leer el nombre en abreviatura del astrónomo del que vamos a tratar (Cld. Ptolmvs, alejandrino). Muestra este "retrato", al famoso sabio greco-egipcio de época romana, portando en su mano la esfera armilar. Un tipo de astrolabio circular en uso en tiempos de Ptolomeo, aunque se considera inventada a mediados del siglo III a.C. por el director de la Biblioteca de Alejandría, Eratóstenes de Cirene.
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En nuestro anterior artículo hablábamos de aquel Eratóstenes, famoso geógrafo y astrónomo que se tiene por el descubridor del perímetro -casi exacto- del Meridiano. Sabio considerado el antecesor directo de Ptolomeo (pese a que les separan trescientos años) y que al igual que el famoso Claudio alejandrino escribió sobre geodesia, matemática, física y música. Tristemente, las obras de Eratóstenes no nos llegaron tan bien conservadas como las de su sucesor, por lo que su tratado sobre la música principalmente se conoce a tavés de citas que refieren autores posteriores. Entre ellos Ptolomeo, que menciona varias veces al de Cirene, refiriendo sus cálculos para establecer la escala musical. Pues afortunadamente el tratado sobre armonía del escritor del Almagesto -llamado TÁ ARMONIKÁ- nos fue legado de forma bastante completa (tan solo se perdió su parte final). Un libro del que hoy hablaremos con el fin de comprender algo mejor, el modo de concebir la música hasta el Renacimiento -ligada a la cosmografía, a la astronomía, a la ciencia física y hasta a la astrología-.
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ABAJO: Como dijimos, en los dos artículos previos habíamos escrito acerca de la relación entre música y geodesia, durante la más remota antigüedad. Idea que algunos de nuestros lectores consideraron "un tanto extraña". Pero la realidad del pasado fue esta que hoy nos resulta tan "rara" como "incomprensible"; donde la matemática y la astronomía estuvieron tan unidas a la música, como hoy lo pueden estar la ciencia y la medicina. Ello, porque los sistemas de afinación y de construcción de instrumentos se basaban necesariamente en cálculos de distancias, medidas, pesos y volúmenes. Todo lo que obligó a que la música, la física y la matemática fueran materias de una misma especie y significado -al menos hasta el tiempo en que se encontró una fórmula para crear una escala musical valiéndose de un método aritmético y sencillo-. Situación en la que se permanece hasta el siglo XVII, momento en el que matemática y música fueron prácticamente disociadas; tras la aparición de un procedimiento simple y proporcional para calcular las notas (en base a la 12Ѵ2)-.
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Hasta entonces, el sonido y la Octava se habían considerado hijos del cálculo y de la física con un sentido filosófico, todo lo que revestía en un halo de misterio el mundo de la armonía y de la melodía; cuyo significado se entendía unido al de toda ciencia exacta. Pretendiendo comprenderse con ello por qué la música ejercía sobre el ser humano una atracción tan sublime como irrefrenable; provocando en el hombre el éxtasis, la exaltación, el llanto, la risa, la alegría o la tristeza. Impulsos que se justificaban con la hipótesis de que el alma se viera afectada o modificada por esta acústica -nacida de la unión de la física y la matemática- unida a la estética y el virtuosismo (procedentes del buen gusto y la inspiración). Algo que podía explicarse con el Número y su teoría; un número con el que se representaban "los cortes" o "intervalos" de sonido. Cifras que permitían razonar la atracción del hombre hacia la melodía, del mismo modo que la necesidad de supervivencia llevaría a explicarnos el modo en que reconocemos las vitaminas en los alimentos. Siendo así, la música se consideró "un medicamento" espiritual tan necesario como efectivo -tal como decía Pitágoras-. Cuya farmacopea y secretos dominarían mejor aquellos artistas que a su vez fueran sabios matemáticos y doctos en otras grandes ciencias (astronomía, cálculo, geodesia, cosmografía, astrología etc.). Porque lograrían crear escalas en las que sus notas y sonidos afectasen directamente al mundo sublime en lo más interno del hombre, modificando su alma gracias a aquel conocimiento.
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Abajo, podemos ver una imagen en la que se representa a agrimensores egipcios calculando los campos, con el fin de recaudar impuestos -de un fresco existente en Tumba de Menena, Tebas Nº68 , Luxor (agradecemos a la institución Valle de los Reyes nos permita divulgarla)-. Como ya hemos explicado, la agrimensura hubo de ser el principio de los estudios de geodesia en Egipto, habida cuenta que muy pronto observarían su esfericidad quienes medían la tierra (aunque solo fuera a simple vista, al elevarse sobre montículos para la toma de datos). En la parte inferior de la fotografía he incluido un diagrama con los diferentes valores que daban a las notas algunos de los sabios griegos, tal como los recoge en su tabla de Octavas Pedro Redondo Reyes (1) . A la derecha de la relación numérica hemos escrito el nombre de las notas en nuestros valores de solfeo, para comprender facimente lo que este diagrama significa. De tal modo, si tomamos como tono inicial una cuerda tocada al aire de 120 centímetros y a este sonido lo consideramos un DO (primero); la misma nota (DO segundo) se hallaría en su mitad -en el centímetro 60-. Tras ello, y en el intervalo entre esos 120 y 60 ctms., estaría toda la escala conforme las diferentes teorías matemáticas indicaban "procesar" la Octava. Acerca de los distintos sistemas de calcular estos intervalos ya hemos hablado en repetidas ocasiones. En el gráfico podemos ver las fórmulas de afinación propuestas por Arquitas de Tarento, Aristógenes de Tarento, Eratóstenes de Cirene, Dydimo el músico y Claudio Ptolomeo.
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1-) INTRODUCCIÓN:
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No sin razón, alguno de nuestros lectores se ha sentido extrañado cuando en el pasado artículo uníamos geodesia con música, considerando que en Egipto y en Mesopotamia, el tono primero de la escala pudo calcularse conforme a una medida relativa al perímetro terrestre. La idea por extraña que parezca es tan lógica como ilógico lo es, el hecho de que la afinación moderna se fijara a través de usos y recomendaciones surgidas de los músicos y fabricantes de instrumentos (entre los años 1926 a 1936). Quienes comenzaron a templar en LA 440 Hz y terminaron por imponer este parámetro carente de todo concepto músico-matemático. Pues bien es sabido que la afinación filosófica indica que siendo la Octava igual a 2 (1/2), la idea sería que su primer tono fuera equivalente a un múltiplo de este número en Herztios. Siendo así, es fácil saber por qué a finales del siglo XIX (tras Hertz) se determina afinar en un LA de 430,5 ; siendo además este el tono primero muy aproximado al que se había utilizado anteriormente (a comienzos del XIX). Ya que en base a la afinación filosófica, debemos considerar el primer DO del piano con 32 Hz (por lo que los siguientes tendrían respectivamente: 64; 128; 256; 512 Hz). Por ello, este DO central dejaría de valer los 523,25 Hz. (que tiene hoy al nacer del LA 440), para equivaler a 2 elevado a la 7ª (512 Hz). Mientras que su LA inferior -el que hoy es de 440- pasaría a tener los 430,53 Hz.. Un tono sobre el que afinaban a fines del XIX los instrumentos y que (como hemos dicho) coincidía aproximadamente con los temperamentos anteriores. Aunque todo ello conlleva que la música se entristezca un poco, razón por la que debió de aumentarse el LA hasta los 440 Hz. hace unos ochenta años (para que las melodías sonasen más alegres y quizás para ambientarlas al "fox-trot", al "charlestone" o al "chunda-chunda" que por entonces ya se extendió mundialmente).
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De tal manera, podemos decir que la afinación filosófica solo permaneció hasta que la música tuvo un carácter "serio" o "sublime", respetando la cifra 2 como origen -pues de ella proceden los sistemas de temperamentos a lo largo de todos los tiempos-. Pero tristemente el resultado de que vivamos un momento en el que lo que más vale es lo que primero se difunde, es que ya no interesa pensar -buscando siempre el modo "más fácil"-. Por lo que desde la "Belle Epoque" a muy pocos les importó la teoría sobre el simbolismo y el significado de la música, siendo desde entonces tan solo relevante, el resultado comercial o social de aquella. Pragmatismo que culmina con la llegada de los medios de comunicación, momento tras el cual, el mejor músico es el que más vende; llegándose a afirmar que determinados grupos de rock son "Mozart en el siglo XX" (aunque hayan sido coetáneos de Joaquín Rodrigo o de John Williams...). Una mentalidad que nada tuvo que ver con la de nuestros más antiguos ancestros (culturales e intelectuales), para quienes la música tuvo un sentido tan místico, sublime, bello y sagrado; como hoy parece tenerlo el fútbol. Siendo este arte del sonido la esencia sobre la cual antiguamente giraba gran parte de las ilusiones, de los sueños y del disfrute espiritual o mundano, en la existencia humana.
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Debido a lo que decimos, durante la Antigüedad se estudiaba meticulosamente por qué el sonido, la melodía y el ritmo, afectaba de tal modo a las personas; tanto que las alegraba, les hacía llorar, exaltarse, reir o bailar. Algo que se asociaba no solo a los cambios de ánimo y a la euforia o a los impulsos; sino también a las modificaciones del alma. Llevando a analizar qué escalas o notas actuaban de mejor y peor forma sobre las ánimas y las mentes de los hombres. Llegando los matemáticos a crear teorías que complicaban y explicaban las afinaciones, asociando determinados sonidos con números sagrados y a estos con ciclos de los planetas -en los que veían los intervalos musicales-; unas notas que se unían a las supuestas distancias entre los astros. Comparando así el calendario, los sínodos lunares o las medidas de los planetas, con los tonos que proponían. Unas teorías que nada extraño deben parecernos, pues del sueño de los sabios nace la nueva ciencia; así como del delirio de los que conocen, procede la verdadera sabiduría.
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Ya que toda teoría que verdaderamente es innovadora será aquella que en su tiempo aún no puede comprenderse del todo, porque en gran parte habrá nacido de la intuición del científico (quien siquiera sabe de dónde surgió su inspiración). Una razón que muestra como el hombre -al igual que algunos animales-, está provisto de dotes que ni conoce, ni puede dominar; a través de las que logra comprender o explicar lo que siquiera él mismo entiende. Hechos estos que ha demostrado la Historia en innumerables ocasiones; en las que el científico, sin poder probar lo que intuía, lo proclamó. Llegado el tiempo a demostrar que sus ideas eran como "los bigotes del gato", que llevan al felino a conocer lo que no debe ingerir (sabiendo muy bien qué es bueno para su especie). Unas dotes que en verdad son sobrenaturales y se dieron en grandes sabios, pues nadie acierta todavía a imaginar cómo Kepler o Newton pudieron resolver la mecánica celeste gracias a inspirarse teorías y sueños como el pitagórico -que unía la armonía musical con la del Cosmos-.
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Hablando del "Sueño de Pitágoras", desearía terminar esta introducción refiriéndome a uno de los mejores matemáticos de nuestras tierras, fallecido unos diez años atrás. Se llamaba Jose Miguel de Guzmán y Ozámiz, quien en su discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias Exactas y Físicas, trataba sobre el "análisis de impactos armónicos (el sueño pitagórico)". Exponiendo que en el estudio de la longitud de ondas será uno de los temas en el que la física futura mayores incógnitas ha de plantearse (y dónde más progresará). Unas ondas que desde hace unos ciento veinte años y gracias a Hertz, pudieron medirse en su frecuencia de vibraciones por minuto; Hertzio que a mi modo de ver plantea un enigma que de enorme misterio... . Ello es que la proporción de vibraciones por minuto se corresponde exactamente con la longitud de la cuerda (o de la flauta); y en el caso de la percusión, de la masa o del volumen. Para que entendamos lo que deseo expresar, me permitiré poner el ejemplo de que si tomamos una cuerda que mide 440 centímetros y la tensamos hasta que tocada al aire alcance los 440 Hz.; pulsando justo en su mitad (a los 220 centímetros) tendrá 880 vibraciones por minuto. Siendo proporcionalmente inverso el número de Herztios a la distancia en que la hagamos sonar. Así, si la tocamos a 1/3 de su longitud total (440/3 = 146,66.. ctms), sus vibraciones por minuto serán igual a 440 + 440/3 = 586,66... Hz.. Todo lo que expresa una extraña unión entre tiempo y espacio, que quizás se resuelva en el sonido y que es muy cercana al método por el que Newton explicó su Ley de los Graves.
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SOBRE ESTOS PÁRRAFOS: Portada del libro sobre el insigne profesor Jose Miguel de Guzmán y Ozámiz, a quien tanto le apasionaba el "sueño pitagórico". Matemático y humanista (tal como se intitula esta obra) fue un gran amante de la música y un pertinaz investigador de las relaciones entre la onda "imaginada" y la onda "probada". En numerosos estudios míos he deseado citarle, como ejemplo de que la verdad, cuanto más bella es más cierta; al igual que del sueño del centífico es el origen del cual proceden las nuevas teorías.
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ABAJO: Dibujo mío de un angelito tocando la guitarra donde he aprovechado para representar en geometría las fórmulas de temperar durante la antigüedad. Tal como hubieron de hacerlo miles de años atrás los matemáticos antiguos, quienes explicaban de forma fáctica los hechos que comprobaban conceptualmente. Por lo que se llama raiz cuadrada, a la raiz de un cuadrado (la diagonal); ya que todos los elementos de cálculo y de pensamiento se representaban sobre la realidad. Principalmente dibujándolos en la arena; labor en la que -dice Tito Livio- fue asesinado Arquímedes, durante la toma de Siracusa; cuando un soldado pisó sus trazos de rectas y círculos en los que resolvía un problema. Enfadado el sabio al verlos borrados, protestó ante el gladiador, quien sacando la espada no dudó en asesinarle. Dichos dibujos se usaban tanto para compresiones de geometría como para el cálculo, expresando de manera geométrica cualquier problema; de ello, para resolver la Ѵ32 el método más fácil era pintar un enorme rectángulo de (4 x 4) y medir su raiz (su diagonal) = Ѵ(16+16) = 5,83... .
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En el dibujo de imagen he expresado los diferentes tipos de intervalos comunes a todas las fórmulas de temperamentos; que son 1/2 y 3/2; tanto como 3/4 y 4/3. En ellos se contiene la forma más común de dividir la cuerda para ir hallando cada nota (según los distintos tipos de afinación):
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A)- En el primer dibujo de arriba a la izquierda (marcado con la letra "alfa") vemos la división en tercios y los 4/3 representados. Al lado en uno de los tercios la razón de raiz cuadrada de su proporción y que es: Ѵ(12 + 1/32 ); todo lo que se corresponde con: Ѵ1,333... = 1,1547...
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B)- En el lado opuesto, marcado con la "betta" la representación de 3/2 por triángulos en el que la diagonal del cuadrado es lógicamente es igual a Ѵ2.
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C)- Bajo esta y marcada con una "gamma" tenemos los 3/4 que normalmente dominan toda las afinaciones antiguas, en este caso representados como triángulos y cuyas raices lógicamente son: Ѵ2 y (Ѵ2 : 2).
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D)- Abajo del todo y a la derecha (marcada con una "delta") se observa la misma forma de división en 3/4 -común en las afinaciones antiguas-, pero dibujada en cuadrados, cuya raiz del cuadrado de 1/4 es (Ѵ2 : 2) = 0,7071067811... .
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E)- Finalmente y a la izquierda abajo (marcado con una épsilon) se observa la división en 3/2 pero representada esta vez en rectángulos. Siendo la raiz cuadrada del rectángulo igual a 1 y 1/2 = Ѵ(12 + 0,52) = Ѵ1,25 = 1,1180...
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F)- Sobre la guitarra que toca el angelito y en las cuerdas 6ª y 1ª he marcado las notas tal como se localizaban en la antigüedad.
-En primer lugar y sobre la cuerda 6ª (arriba) el sonido entero o al aire, marcado como 1 y que en la guitarra equivale a MI1.
-Bajo esta y en su mitad, de nuevo marcado con 1/2 el otro MI2 (de la siguiente Octava.
-Por último de nuevo a la mitad de longitud del MI2 (anterior) y a una cuarta parte del primero; vemos el otro MI3, marcado como 1/4.
-La siguiente nota se localiza uniendo el MI2 con el MI3 ; es decir, 1/2+1/4 todo lo que son 3/4, distancia a la que situaría el LA.
-En SEGUNDO LUGAR y sobre la cuerda 1ª (abajo y cuyo sonido entero o al aire, equivale a MI3). A 3/4 vemos de nuevo un LA.
-Bajo esta y en su mitad, de nuevo marcado con 1/2 el otro LA2 (de la siguiente Octava)
-Por último de nuevo a la mitad de longitud del LA2 (anterior) y a una cuarta parte del primero; vemos el siguiente LA3, marcado como 1/4.
-La siguiente nota se localiza uniendo el LA2 con el LA3 ; es decir, 1/2+1/4 todo lo que son 3/4, distancia a la que situaría el RE.
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2-) ASTRONOMÍA Y GEODESIA; MATEMÁTICA Y ARMONÍA, EN LA ANTIGÜEDAD:
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Para desarrollar el presente capítulo, vamos a servirnos de la tesis que escribió Pedro Redondo Reyes sobre la "Harmónica" de Ptolomeo (2) . Un libro cuyo contenido y redacción indica que en nuestro país todavía quedan genios vocacionales, con una cultura incomensurable y de una humildad venerable. Este, junto con otra colaboración suya acerca de Ptolomeo, son auténticas guias en nuestro tiempo para conocer qué fue la música helena y lo que pudo significar este sabio alejandrino a lo largo de la Historia. Todo ello escrito por una persona cuyos conocimientos son dignos de comparar con los más altos catedráticos europeos y que como Goldáraz Gaínza o Pérez Cartagena, nos aportan los rasgos de toda una civilización musical ya perdida. Un cultura de la cual quizás seamos ya sus últimos herederos, pudiendo extinguirse en su significado y sentido durante las próximas generaciones (tal como se perdió "el retrato romano", la pintura del renacimiento o la estética del barroco).
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Consecuentemente, vamos a analizar en profundidad las ideas de Pedro Redondo Reyes, investigador que escribe literalmente como aquel geógrafo fue uno de los sabios que marcó de mayor modo el pensamiento de Occidente, al decirnos: "Uno de los autores griegos cuya obra se extiende en influencia en el pensamiento europeo durante muchos siglos después de su muerte es el alejandrino Claudio Ptolomeo (ca. 100-178 d.C). Más conocido por su producción dedicada a la geografía, la astronomía y la astrologia, también dedicó un tratado, como era de esperar en un matemático griego, a la música, transmitido con el título de TA ARMONIKÁ (Harmonía). Como teórico de la música, Ptolomeo ejerció una poderosa influencia sobre toda la especulación musical de la Edad Media tanto latina como bizantina, y determinó muchas estructuras armónicas de los músicos humanistas italianos" (3) . Las frases anteriores describen la indudable raiz ptolemáica que hubo en el canto bizantino (al menos en su teoría) y por lo tanto el gregoriano -plenamente emparentado a otros menos famosos (como el mozárabe)-. Al igual que reflejan la indiscultible influencia que el sabio alejandrino ejerció en los teóricos de la Edad Media y del Renacimiento.
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Por su parte y en lo que se refiere al sentido matemático y científico que la música guadaba en tiempos antiguos, nos gustaría recoger el siguiente párrafo Redondo Reyes; en el que el autor expresa como todo filósofo o sabio que se preciara, había de tener su razón y su propìo sentimiento de la música y de la escala, unido al de las ciencias: "Ptolomeo fue astrónomo y matemático, y en la Antigüedad helénica esto es hablar de música; lo vemos también en Platón, en Eratóstenes, en Nicómaco y en los escritos que nos hablan del pitagorismo. Es el inicio de lo que los siglos posteriores conocerían como quadrivium, un programa de estudios integrado por la astronomía, la geometría, la aritmética y la música (a ello se referirá Ptolomeo al inicio de la Harmónica) (4) . Comprendiéndose de este modo que aquel "Quadrivium" obligatorio y obligado para todo hombre con conocimientos en la Italia renacentista, tiene sus raices en la antigüedad clásica, donde los sabios concibieron la música como una parte de la matemática -plenamente unida a la astronomía y a la geometría-.
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Dichos conceptos los desarrolla perfectamente en capítulos posteriores donde Redondo Reyes escribe: "Según la leyenda, fue Pitágoras quien de modo casual, en una herrería, descubrió las leyes que rigen lo que se conoce por `consonancia´ (...) como su número y relaciones. Es así que la escuela pitagórica, sostenía la idea de que todo el Universo está gobernado por el número" (5) (...) "el orden matemático subyacente a los intervalos es, para los pitagóricos, el mismo que subyace en todo lo demás, notablemente en los cielos. A partir de ellos se desarrolla la doctrina de la `armonía de las esferas´, rechazada por Aristóteles (Caelo. 290b 12 ss.), pero repetida y transformada por muchos autores posteriores, desde Platón hasta Plinio, Ptolomeo, Cicerón o Boecio, por ejemplo. El orden planetario refleja el orden de las notas en el sistema" (6) . Las frases anteriores contienen una breve descripción de lo que fue la Teoría del Número relacionada con la armonía de las esferas y culminada -o explicada- por la armónica musical. Diferenciando de sus premisas a las escuelas aristotélicas, que no creyeron en aquella idea. Pese a ser el fundamento de las pitagóricas, platónicas o neoplatónicas; quienes concebían el orden del Cosmos regido por el Número y a ambos armonizados en la misma forma que la música.
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Un "extraño sueño" que también durmieron genios como Kepler o Newton y gracias al cual estos dos padres de la astronomía y de la física moderna, hallaron sus leyes o resolvieron parte de la mecánica celeste. Un pensamiento del que nos habla Redondo Reyes del siguiente modo: "la idea de ARMONÍA, explicada como una unión de contrarios. Los pitagóricos llamaban así a la octava, sobre todo Filolao, como el ensamblaje de cuarta más quinta. Esta armonía era concebida también a nivel cósmico, puesto que ya hemos visto que la estructura musical es común en el Universo y en la Tierra. Por ello, la armonía también está en el cielo, pero también en el alma: el mismo Platón en el Timeo expuso la estructura del alma basada en los números armónicos. La armonía, pues, lo atraviesa todo, y si el alma es armonía, los pitagóricos cuidaban especialmente de no alterarla, como dice el mismo Ptolomeo" (7) . En el párrafo anterior, llama la atención esa unión de contrarios que se define como "ensamblaje de Cuarta más Quinta, todo lo cual no es más que la creación de la escala musical; pues por procedimientos pitagóricos las notas se calculaban simplemente multiplicando un anterior tono por 3/4 (o bien por 2/3). Ya que -tal como repetidamente hemos explicado-, bastará con dividir por 4 la longitud en que una cuerda emite una nota; y sumar luego la medida de 3/4, para llegar a su siguiente Quinta (al tono contiguo en la temperación -ver el dibujo del angelito y la guitarra con las notas tal como se van hallando-).
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SOBRE ESTAS LINEAS: En nuestro anterior artículo escribíamos: "Eratóstenes de Cirene; bibliotecario y sabio que en el siglo III a.C. dirigió la Biblioteca de Alejandría, se considera el primero que midió el Arco Terrestre. Pese a ello, sabemos que sus conocimientos los toma desde un papiro y de escritos antiguos faraónicos, llegando a calcular el Meridiano con bastante precisión, aunque todo su sistema esté pleno de errores y no pueda justificarse. Tanto, que tras llegar al resultado final y expresar que la Tierra debía medir 250.000 Estadios (egipcios); si saber por qué, corrige esta cantidad hasta los 252000, logrado así una exactitud casi absoluta en su estimación. Todo lo que unido a los fallos de planteamiento en las fórmulas y distancias, hace obvio que tomó los datos y la solución desde escritos antiquísimos egipcios, que describían el tamaño del Meridiano y las formas usadas para medirlo".
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En la imagen, el Valle del Nilo (en una fotografía de Google espacial, agencia a la que agredecemos nos permita disponer de ella). Sobre aquella hemos marcado tres puntos de enorme importancia en la teoría de Eratóstenes, pues este director de la Biblioteca afirmaba haber calculado el Meridiano sabiendo que la ciudad de Asúan -Syene- estaba al Sur puro de Alenjadría y situada en la linea de Trópico (tal como leyó en un papiro). Aunque realmente Asuán no se localiza exactamente sobre Trópico, y su Norte puro se halla en la antiuga Per-Amón (cercana al actual Port Said), no en Alejandría -tal como el sabio afirmaba-. Por lo demás y sobre los conocimientos geodésicos de los antiguos egipcios bastará con comprobar la situación de Latitud de las Pirámides de Giza, que es de 30º prácticamente sin error. Todo ello, al igual que el tamaño del Grado pudo saberse hace cinco mil años simplemente midiendo las sombras; ya que el día de equinoccios la sombra marca 30º (1/3) justamente en este lugar hoy llamado Giza (Latitud 30). Por su parte, si medimos la distancia entre dos puntos -de Norte a Sur- en los que en misma fecha la sombra varía un grado; hallaremos la medida del perímetro terrestre, tan solo multiplicando esa longitud por 360 (sin necesidad de cálculo trigonométrico alguno).
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ABAJO: Grabado con Esfera Armilar, publicado en Londrés por el New Geographical Dictionary -London 1759- . Como hemos dicho, esta esfera se considera un tipo de astrolabio inventado por Eratóstenes y muy usado en tiempos de Ptolomeo. Sobre estos sabios, Redondo Reyes escribe que seguramente fueron "el producto" de los conocimientos acumulados en la Biblioteca alejandrina; diciendo textualmente sobre Ptolomeo: "De modo que es verosímil pensar que, fuera cual fuera su lugar de nacimiento, al igual que su antecesor Eratóstenes, al que sigue en su labor astronómica, geográfica y también musical, trabajó en la gran ciudad del Delta, posiblemente en el marco de la Biblioteca" (8) .
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Siguiendo con las tesis y trabajos de Pedro Redondo Reyes, en ellos este investigador recoge plenamente el concepto que los helenos tenían sobre la "armonía". Una idea que no cubría tan solo la musical y la astronómica, o la puramente matemática -que ya hemos visto-. Sino concebían la "armonía " como un "ente" que transcendía desde la vida científica, hasta las razones de la política y de la ética; puesto que se interpretaba como una ley universal con la que se lograba armonízar espiritual y socialmente a todos (es decir: El origen de la paz, la civilización y el progreso). A lo que añadiremos que quizás este concepto fuera un sueño heleno nacido de aquella frase que dicta como "la música amansa a las fieras"; con la cual se pretendería sumir y resumir que a través de la música, la Sociedad, el hombre, la ciencia y el credor; se hacían uno y lo mismo. Describiendo Redondo Reyes como los griegos entendian por "armonía" principalmente el método de hallar las escalas, conforme indicaban las escuelas habían de calcularse las notas para purificar las almas -tal como los maestros habían logrado descifrar-. Por lo que este autor escribe: "las `formas de octava´ han sido consideradas por los filólogos una `normalización´ de las `armonias´, las cuales diferían en magnitud o registro así como en el tamaño de sus intervalos" (9) .
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Siendo así, no es de extrañar que cada tendencia filosófica tuviera su propio método para afinar o para establecer los intervalos entre cada nota; todo lo que se traducía como un compendio de leyes propias con las que lograban su particular "armonía". Una ciencia musical que descendía de las cósmicas y geodésicas, pero que se traducía a la politica. Por lo que leemos en Redondo Reyes frases como:"esto es lo que los poetas-músicos entendían por `armonía´, término con connotaciones más allá de la pura música, como es sabido: Platón (...) pensó que la música no es algo indiferente en la construcción del Estado y, de otra forma, también se pensó que la estructura de las cuerdas de la lira tenía su correspondencia especular en la ordenación planetaria del Cosmos" (10) .
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Por lo tanto, la propia ética y la moral se ajustarían a una armonía universal, tal como la musical había de estar ensamblada con la cósmica, naciendo así el concepto de "Ethos". Una característica que las notas debían contener para lograr modificar el alma y curar los espíritus, gracias a su carécter "eticamente" perfecto (desde el punto de vista armónico, físico o matemático). Acerca de todo lo que leemos en el autor referido que:"los griegos eran capaces de advertir `caracteres´ (ethe) diferentes en cada una de ellas, capaces de modificar el estado del alma. De ahí que la crítica haya pensado con razón que la mera distribución de intervalos entre las notas de una armonía no pueda comportar una diferencia notable entre `ethes´ provocados por diferentes escalas" (11) .
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En todo lo antes expuesto vemos la complicación y la complejidad para establecer el valor de armonía entre los helenos y de los intervalos que cada escuela aconsejaba usar. Tanta, que hoy en día habríamos de traducir este concepto quizás como el del "bien". Siendo armónico todo lo bondadoso, lo perfecto, lo sabio, lo generoso, lo justo, lo bello y lo sublime. Comprendiéndose así que hace miles de años el arte no era tan solo un problema de estética, ni de formas; sino principalmente de civilización y de cultura. Puesto que integrar la música en la matemática y poder explicar por qué las notas eran bellas o sublimes, debió ser un problema de índole filosófico que logaron tan solo algunos resolver. Todo lo cual implicaba una cumbre de la civilización y el logro más refinado de la sabiduría. Mientras, aquellos iniciados que dominasen esta "ciencia" considerarían un arte zafio o burdo el otro, que los ignorantes hacían; sin conocer razón alguna, ni menos el origen propio de los fundamentos éticos y estéticos de la música. Todo lo cual se traducía en ver la armonía musical reflejada en la Sociedad, en las leyes, en la construcción, en las matemáticas y en cualquier forma de conocimiento. Algo que explica por qué es tan "célebre el pasaje aristoxénico donde se comparan los diferentes sistemas tonales de Grecia con la diferencia de calendarios" (12).
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ARRIBA: El Mundo de Ptolomeo, visto por Johannes de Armsshein; de un grabado del Almagesto, publicado en Ulm en 1482. Observemos en el mapa que las líneas de costa mejor trazadas y de mayor precisión con las verdaderas, son las de la Península Ibérica. Lo que -sin duda- se debe a los grandes conocimientos cartográficos que en aquella época tenían los marinos castellanos, aragoneses y -principalmente- los portugueses (a través de la Escuela de Sagres). Un saber astronómico y geográfico que algunos consideran como un simple entretenimiento de príncipes, o una ciencia con fines filosóficos en manos de los sabios y bajo el auspicio de sacerdotes. Muy por el contrario y desde la más remota antigüedad, la cartografía, la astronomía o las matemáticas; eran imprescindibles porque servían para guiarse en el desierto y en los mares. Permitiendo su conocimiento el traslado de mercancías o de ejércitos, unas disciplinas sin las que civilizaciones, Estados y culturas, jamás hubieran logrado espanderse o comerciar. Siendo tan necesario el desarrollo de estos estudios antaño, como hoy resulta el de las telecomunicaciones o la aeronáutica; sin las que ninguna nación de nuestro tiempo puede prosperar.
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ABAJO: De nuevo, he dibujado una idea muy sencilla de cómo se comprobaría la esfericidad de la Tierra, simplemente observando en épocas de inundación la llanura del delta del Nilo, ascendiendo a una pirámide. El trazado está hecho sobre un espejo egipcio del Imperio Nuevo (XVIII dinastía), propiedad del Museo del Louvre -al que agradecemos nos permita divulgar la imagen-; habida cuenta que como es sabido, el espejo se utilizaba para observaciones astronómicas, llevando uno en su extremo las alidadas. En este, he pintado la figura de una pirámide imaginando que la zona baja de Egipto estaba cubierta de agua y que un observador iba midiendo las longitudes que sus ojos alcanzaban, cada vez que miraba desde más arriba.
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Desde la altura de 1 Codo Real del III milenio a.C. (que medía 52,3 ctms), la visión llegaría hasta los 2580,5 metros (algo menos que unos 5000 Codos). A la mitad de la Gran Pirámide -que mide 140 Codos Reales (unos 73,22 mts)- la vista alcanzaría hasta los 30533 metros (unos 58400 Codos). Finalmente y desde lo alto -a 280 Codos (unos 146,44 mts)-; el último punto que veríamos se situaría a 43,180 kilómetros (unos 82560 Codos). Siendo así, para intuir que el horizonte es un arco, bastaría observar el ángulo necesario a cada altura y darse cuenta de que conforme subimos, aquella "hipotenusa" formada por nuestros ojos y el punto último que miramos, no se corresponde con la longitud hasta donde la vista debía alcanzar si el suelo fuera un plano (pues lo que falta está bajo nosotros habida cuenta el arco terrestre). Porque cuanto más nos elevamos, proporcionalmente menos vemos; algo que no ocurriría con una tierra plana en la que la longitud de visión sería siempre una constante (relativa al ángulo que necesario para alcanzar el último punto) (13).
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3-) LA ARMONÍA HELENA:
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Dejaremos hablar a Pedro Redondo Reyes acerca de la harmonía entre los helenos, algo que magistralmente realiza en la referida traducción de TÁ HARMONIKÁ de Ptolomeo, escribiendo: "Como ya hemos visto en el capítulo 4 de este trabajo, desde mucho antes de la época de nuestro autor la teoría musical estaba divida en dos facciones: pitagóricos y aristoxénicos. Ptolomeo acepta la confianza de éstos en la capacidad de la percepción, pero su carácter matemático le lleva a aceptar las líneas fundamentales de los pitagóricos: un trasfondo numérico para toda la realidad, incluidos los intervalos musicales –expresados entonces en el LOGOS armónicos– y las estructuras más complejas. Con ello se pretende alcanzar un objetivo propio de más largo alcance que lo habitual en la tratadística musical: demostrar la coherencia y analogía entre el modelo matemático –las hipótesis– y los fenómenos naturales (entre ellos los musicales, pero también los celestes). En lo que a la música atañe, la racionalidad se buscará mediante el instrumento musical llamado canon, ya introducido aquí, y que cumple la tarea de asegurar la homologación entre los sentidos y la razón" (14).
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Lo que incluye el párrafo anterior, se podría resumir en la idea de que Ptolomeo fuera realmente un pitagórico (aunque con reservas); porque en parte y como hacían los aristotélicos -aristogénicos-, el alejandríno reconocía que la música se entendía y solo nos llegaba por medio de los sentidos, siendo explicable a través de la razón. Pese a lo que a su vez negaba que el raciocinio -en sí mismo- pudiera comprender plenamente los matices y significados de la armonía. Ello, porque en realidad afecta a áreas interiores ajenas a nuestro entendimiento y pensamiento, de lo que en la música actua un factor que era imaginario, espiritual o externo. Aquello que hemos denominado "el sueño pitagórico", que no es otro que la intuición de lo superior, o de lo que siendo sobrenatural, el hombre siente y llega a razonar, pero no acierta a explicarse. De tal modo, para Ptolomeo en este arte también existirá la obligación primera de guardar una metodología exacta y perfecta (tal como mandan los aristogénicos), por lo que: "El propósito del estudioso de la armonía sería preservar en todo momento las hipótesis racionales del canon, de ninguna manera en conflicto con los sentido según la opinión de la mayoría, como el del astrónomo es preservar las hipótesis de los movimientos celestes"(15).
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Trata Pedro Redondo Reyes acerca de las diversas tendencias filosófico-musicales de Grecia, destacando que los famosos " harmónicos, eran una activa escuela que investigaba las posibilidades de la octava como unidad básica en el estudio de los intervalos (los reproches de Platón a los que buscan el `mínimo intervalo´ (16) . Todo lo que claramente significa la existencia de un grupo religioso-musical cuyo único cometido fue el de investigar las diferentes formas de afinaciones (a través de cálculos y experimentación). Por lo demás, las críticas de Platón hacia los Harmónicos, en mi opinión procederían de los escasos conocimientos matemáticos que este filósofo tenía. Todo lo que se muestra en su Timeos, obra en la que pretende explicar la forma de templar una escala y no acierta muy bien a expresar que 1/2 y 1/4 son los 3/4; bases o fracciónes, que forman los intervalos más esenciales y primeros en los temperamentos pitagóricos: La Quinta -y la Cuarta-. Por su parte Redondo Reyes añade acerca de los "Harmónicos" -estudiosos irrefrenables del sonido- que: "Estos músicos, con Eratocles a la cabeza, deben ser enmarcados en la búsqueda de una regularización que ofreciese resortes para el estudio de la música de la época, resortes basados en la propia ´fisis" de la melodía. Probablemente este impulso pudo surgir de los propios virtuosos y maestros de interpretación, que, a pesar del mencionado divorcio entre teoría y práctica, eran conocedores de la teoría " (17) .
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Pasa posteriormente a tratar de las múltiples fórmulas para templar o hallar las notas, destacando las más importantes, que finalmente se clasificarían en quince. Entre estos sistemas destaca el pitagórico (del siglo VI a.C.) ya en desuso en su época), junto al Enarmónico; que como hemos visto, era una simple variación del pitagórico y cuya invención se atribuye discípulos del maestro samio (a Arquitas de Tarento, o a Terpandro de Lesbos). Como vimos, la base de esta fórmula de temperar enarmónica es muy simple, hallando las seis primeras Quintas multiplicando el primer tono por 4/3; y tras ello, otras cinco de manera inversa, multiplicando por 3/4. El resultado es que obtenemos MI-LA-RE-SOL-DO-FA-SI (naturales Do,Re,Mi,Fa,Sol,La, Si); y después los medios tonos, progresando en sentido inverso. Por su parte se menciona que este sistema enármónico igualmente en tiempos de Ptolomeo ya estaba obsoleto, teniendo gran éxito el cromático de tipo aristogénico; aunque el que más se usaba por entonces fue el diatónico (18). Recoge y menciona Pedro Redondo Reyes, los distintos modos y las diferentes escuelas de un modo minucioso; resumiéndolos en las tablas que en imagen más abajo y en las citas (19) y (20) hemos plasmado literalmente. Tras lo que me gustaría terminar este epígrafe y primera parte del artículo, citando una frase del autor en la que nos dice sobre el matemático alejandrino:"es lícito considerar la Harmónica ptolemaica como un post quem para el sistema de quince" (21).
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SOBRE Y BAJO ESTAS LINEAS: Foto de una castañuela (palillo de entrechoque) egipcia de la XII dinastía -propiedad del Bristish Museum al que agradecemos nos permita divulgar la imagen-. Esta figura además de un instrumento de percusión hecho en hueso, era un talismán que reprentaba la mano de Hathor -diosa de la música y mano protectora, desde la cual surgieron apotropaicos como la de Fátima-. Bajo ella hemos incluido dos tablas que presenta Pedro Redondo Reyes en su obra "La Harmónica de Claudio Ptolomeo, edición crítica con introducción, traducción y comentario". En la imagen superior, "Correlación entre los intervalos obtenibles en aulós conservados y los géneros ptolemaicos" (de la pag. 83 Op.cit). Abajo, el "Esquema transmitido por Alipio en su tratado, junto con la notación" (idem, Pag.99).
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Este artículo continúa en una segunda parte, si no la tiene contigua vea cabecera de página.
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CITAS:
.(1): Tabla tomada de los estudios de Pedro Redondo Reyes (Myrtia, N 18, 2003)
CLAUDIO PTOLOMEO Y LOS MODOS MUSICALES GRIEGOS). Al lado derecho hemos puesto lo que sería la equivalencias en notas nuestras.
.Según Arquitas Según Aristóxeno Según Eratóstenes Según Dídimo Según Ptolomeo 60 60 60 60 60 DO
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