HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS (música y arqueología Capítulo VI). -dedicado a Paco de Lucía-

LA INEXISTENCIA DE LA "QUINTA DEL LOBO" Y EL ORIGEN LAS DOCE NOTAS ...

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IMAGEN ARRIBA: Fotografía de las murallas de la villa de Urueña; donde expliqué ya hace años los "secretos de la improvisación" musical, a través de los misterios armónicos (en una ponencia dada en la Fundación Joaquín Díaz). Improvisación que -a mi juicio- se relaciona plenamente con la intuición o el conocimiento sobre cual es la quinta y cuarta en cada sonido. Unas notas que surgen cada vez que aplicamos el sistema pitagórico de temperar. Es decir, cuando un tono (distancia o intervalo) es multiplicado por 3/4 o por 4/3. Todo lo que hace, en el temperamento de Pitágoras, que se "localice" su "quinta": Cinco notas más arriba.
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De tal modo, repetimos de nuevo -para todo aquel que se incorpore hoy a nuestra lectura-, que la escala se fijará dividiendo en 3/4 la longitud de la cuerda que tomamos como nota inicial, o sonido primigenio -referencia que conmunmente ha sido un LA 440-. Habiendo elegido en nuestro caso, la que produce la sexta cuerda de la guitarra tocada al aire, y que sabidamente es un "MI"; tomando una longitud referencial (no por hertzios), que desde el puente hasta la cejuela es de 660 milímetros. Siendo así, aplicando el sistema de afinación de Pitágoras, multiplicaremos esta medida primera por 3/4 y llegaremos a una nueva nota; tono que ha de ponerse en el milímetro 495 -ya que (660:4)x3 =495 mm.-.
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Tras ello y para saber qué nota es la nueva que se ha encontrado, bastará con contar cinco en sentido ascendente desde la que partíamos y sabremos así que la nueva aparecida es un LA (pues entre esta y la anterior hay cinco: MI–FA–FA#-SOL–SOL#–LA). Pasaremos más tarde a buscar la siguiente, aplicando el mismo sistema, multiplicando por 3/4 el LA; todo lo que nos indicará que el siguiente tono se halla en el milímetro 371,25 -pues (495/4)x3 = 371,25 mm.-. Nota que para saber a cual equivale en nuestro solfeo bastará con volver a aplicar el sistema de quintas (conociendo pronto que es un RE, pues hay cinco de diferencia con la anterior: LA–LA#–SI–DO–DO#–RE). Siendo así, la serie que vemos sobre la fotografía de Urueña es la que determinará qué nota saldrá cada vez que fuéramos multiplicando los intervalos de las anteriores por 3/4; así hasta hallar las doce.
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1) EL POR QUÉ DE LAS DOCE NOTAS:
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Mucho se ha escrito acerca de los motivos que llevaron a crear una escala con doce sonidos en la más remota antigüedad. Razones entre las que se expone que el doce es el número sagrado en Mesopotamia (una de las pátrias de las primeras afinaciones históricas). Esta cifra era tan sacra entre el Tigris y el Éufrates, que en Babilonia se contaba bajo un sistema duodecimal y no en el común decimal (heredado en Europa, desde el anciano Egipto). Pese a ello, la existencia de una escala de doce tonos no se debe a la sacralización de este número, ni mucho menos a una comodidad o a la racionalización del sistema. Naciendo las doce notas simplemente del modo de afinación, ya que en este, la octava se halla en un medio y a través de tres cuartos; es decir que entre una nota y otra igual hay "la mitad" (de longitud, de tensión, de peso -o, modernamente, de hertzios-). Por su parte, en ese medio -o distancia entre 1 y 2- habrá que ir buscando intervalos de 4/3 y de 3/4; todo lo que provoca que sean doce las notas que surjan (como veremos más adelante)
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Siendo así, si tomamos una cuerda tensada y la hacemos sonar (sea la de un instrumento o la de un simple arco de flechas) sabremos que si la partimos en su mitad, el tono que dará será el mismo, en una octava más bajo. De ello, en las guitarras que comunmente tienen entre el puente y la cejuela 660 milímetros, cualquier cuerda tocada al aire, produce una misma nota (en un tono más alto) que si se pulsa en el milímetro 330. Es decir, que como entre 1 y 2 (o entre 1 y 1/2) hay una octava; si esta distancia la sometemos repetidamente a ser multiplicada por 3/4 -comenzando desde su primer sonido-; resultará que tras doce veces 3/4, llegaremos a una misma nota. Lo que explicado en el ejemplo que siempre damos (sobre una cuerda de la guitarra) resuelve el por qué de las 12 notas: Si multiplicamos 660 milímetros (la sexta cuerda) por 3/4, durante once ocasiones nos irá dando puntos diferentes correspondiente a los doce tonos de la escala; pero cuando lo hagamos en la vez número doce, marcará la misma nota en la que habíamos empezado (una octava más baja o alta).
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Todo lo dicho se compueba del siguiente modo y bajo este párrafo (tomando como referencia la cuerda 6ª tocada al aire en la guitarra, con una longitud de 660 milímetros). Donde puede verse como buscamos la escala completa multiplicando por 3/4, aunque de vez en cuando hay que corregir el resultado duplicando el valor, para que todas estén en una misma octava (entre el milímetro 330 y el 660) -marcaremos por ello cuando hay que rectificar simplemente subiendo la octava, doblando el valor de la nota-:
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La fila primera contiene el número de la nota (en negro y cifradas en romano) por el orden en que aparecen los tonos. La fila segunda (en morado) es el intervalo que muestra una sucesión de cinco en cinco; para poder ver como avanzan e ir logrando conocer a que nota corresponde cada intervalo hallado. La fila tercera es tan solo el nombre del tono en nuestro solfeo (en rojo). La fila última y en verde, da los puntos milimétricos que marca (lugar donde está la nota) cada vez que una de estas se vuelve a multiplicar por 3/4 y aparece una nueva.
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I––––––––––––––––––– II –––––––––––––––– III ––––––––––––––––
1 ::: 2 :: 3 :::: 4::::::: 5 ::::: 1 :: 2 ::: 3 :: 4 ::: 5 ::::: 1 :::: 2 :::: 3 :::: 4 ::::5
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MI–FA–FA#-SOL–SOL#–LA–LA#–SI–DO–DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–
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660 mm. .......................495 mm. ..................371,25 mm. .................. (x2)
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IV –––––––––––––––––– V –––––––––––––––– VI –––––––––––––
1 :::::: 2 :::: 3 ::: 4 ::: 5 ::: 1 ::: 2 :::: 3 ::: 4 ::: 5 ::: 1 :: 2 ::::: 3 :::::: 4 ::::5
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SOL–SOL#–LA–LA#–SI–DO–DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–SOL–SOL#–LA
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556,875 mm. ............ 417,656 mm. .............. 313,242 mm. ................... (x2)
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VI I––––––––––––––– VIII –––––––––––––––– IX ––––––––––––––
1 ::::: 2 :: 3 ::: 4 :::: 5 :: 1 ::::: 2 :: 3 ::: 4 ::: 5 ::::: 1 ::::::: 2 :::: 3 :::: 4:::: 5
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LA#–SI–DO–DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–SOL–SOL#–LA–LA#–SI–DO
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469,863 mm. ........... 352,397 mm. ....(x2)....... 528,596 mm. ...............
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X ––––––––––––––––– XI –––––––––––––––––– XII -*
1 ::::: 2 ::: 3 ::: 4 :: 5 ::: 1 :::: 2 ::::: 3 :::: 4 :::: 5 ::: 1
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DO#–RE–RE#–MI–FA–FA#–SOL–SOL#–LA–LA#–SI–*
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396,447 mm. ....(x2)... 594,67 mm. .................. 446,003 mm.
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Desde la marca estrella (*) vuelve a comenzar hacia el MI, nota de siguiente octava en la forma igual progresiva un tono más alto:
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*–––––––––––––––––I ... etc
* 2 :::: 3 :::::: 4 :::: 5 ::::: 1 ... etc
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*DO–DO#–RE–RE#–MI ... etc........................... MI = 334,502 mm.
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Ahora bién, observemos el problema que se ha producido al seguir la serie, que nos ha llevado de nuevo hasta una misma nota MI (partido por dos). Es decir, que tras doce multiplicaciones por 3/4 hemos llegado hasta el segundo MI de la cuerda 6ª -que sabemos realmente ha de estar milímetro 330 (ya que el primero se hallaba en el 660 y una octava equivale a un medio)-. Pero curiosamente hay un "fallo" en el sistema pitagórico, ya que tras doce quintas, nos marca el MI exactamente en el milímetro 334,5022773742676... (debiendo estar ese segundo MI en el 330, ya que sabemos que cada 1/2 es una octava). Esa diferencia exacta de 4,502277374267578 milímetros es lo que se llama "comma pitagórico" que produciría la Quinta del Lobo; aunque en mi opinión ni el comma ni la quinta existieron realmente en la Antigüedad, tal como intentaremos explicar más adelante.
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POR LO DEMÁS, PARECE QUE HA QUEDADO DEMOSTRADO POR QUÉ HAY DOCE NOTAS, LO QUE TAN SOLO SE DEBE A QUE TRAS MULTIPLICAR LAS QUINTAS DOCE VECES, SE LLEGA A UN MISMO PUNTO (si comenzamos en un MI de 660 volveremos tras 12·3/4 a un intervalo igual o muy cercano: Al del MI 330 -evidentemente si comenzamos en el DO llegaremos igualmente a un DO en otra octava menor-)
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SOBRE Y BAJO ESTAS LINEAS: Arriba, de nuevo otra foto del exterior de Urueña sobre la que hemos colocado el método de ir hallando las quintas y su resultado final convertidas estas ya en notas. Abajo, en una imagen de un pastor con su rebaño pastando frente a las murallas de Urueña, hemos situado el órden en el que aparecen las notas -para consultarlo y en caso de dudas, ver cita (1)-.
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2) LA INEXISTENCIA DEL LA QUINTA DEL LOBO:
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De manera común, y principalmente desde la Edad Media, se ha considerado que la afinación pitagórica es imperfecta. Ello porque tras las doce notas (o quintas, que se hallan multiplicando sucesivamente un sonido por 3/4) no se llega exactamente al mismo punto. Puesto que habríamos de regresar a una distancia o sonido que fuera exacto a 1/2 del inicial. Es decir, que si habíamos comenzado en un MI de 660 milímetros, tras encontrar 12 veces las quintas a 3/4 de intervalo, se tedría que volver a otro MI a 330. Pero como hemos visto ello no ocurre, pues se llega al milímetro 334,5022773742676... . Todo lo que se denomina "comma" (o "coma") pitagórico, que teóricamente supone una imperfección, ya que la siguiente escala tendría que empezar allí, en el punto 334,5... y no en el milímetro 330 -lo que motiva la llamada disonancia pitagórica-.
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Esta "comma" pitágórica, comunmente se define como "un intervalo musical que resulta de la diferencia entre doce quintas perfectas y siete octavas; equivaliendo a algo menos de la cuarta parte de un semitono temperado". Su expresión numérica es (3/2)12   : 27 = (531441):(5242888) y su magnitud medida en CENTS (un centavo de tono) equivale a 23,46 cents (es decir al 0,02346 de un tono). Lo que significa que aquella derivación o desvío que había tomado el segundo MI, llegando al milímetro 334,5... (en vez de situarse en el 330), es un error a ajustar y la diferencia denominada "comma". Desigualdad que produce una cacofonía y por lo que se le llamó la quinta que "ahuyenta"- aulla, dándole el nombre de "QUINTA DEL LOBO". Todo lo que supondría a decir modernamente que es una nota que "rechina" (o disuena). Siendo así, se entenderán todos los métodos que durante la Edad Media fueron inventando y utilizando para corregir esta desigualdad; partiendo desde ello múltiples sistemas de entonación y afinación, con el fin de llegar hasta un justo equilibrio (evitando la disonancia).
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No vamos a pararnos a analizar los sistemas de justa entonación, ni las formas que se pensaron para equilibrar esta "quinta del Lobo", puesto que nos planteamos que esta quinta no existió originariamente (tal como demostraría el hecho de que hasta la Edad Media ni siquiera se hablase de ella). Cuanto expreso se puede demostrar por el simple hecho de que la lógica hace pensar que tras las once multiplicaciones por 3/4 ya se tiene la escala entera; de lo que una vez halladas las doce notas (para lo que tan solo hace falta buscar once) la siguiente es un medio de la inicial. Es decir que sabiendo el valor del primer MI que era 660, el siguiente va a ser 330 y no 334,5. Con el resto de notas se haría lo mismo, bastando multiplicar -o dividir- por dos cada tono (tantas veces comos e desee) para trasportarlas a otras octavas. Por lo que para encontrar en la 6ª cuerda de la guitarra el segundo, MI es absurdo llegar a él a través de multiplicar sus quintas (12 veces por 3/4). Y del mismo modo que sabemos como ese MI segundo está en 1/2 del total de la sexta cuerda, lo mismo se hará para encontrar todas las notas en la octava siguiente (y en la superior), sin precisarse más quintas y
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De lo que una vez tenida la primera octava, basta con partir o multiplicar por dos cada tono, para hallar su equivalente en una octava más alta o más baja. Lo que en la guitarra y en la sexta cuerda vemos abajo.
RESULTANDO YA ORDENADOS:
MI = 660 mms. ..................  (:2) 330 mm.  ................ (:2) 165 mms
FA = 626,484 mm.  ...........  (:2) 313,242 mm. ......... (:2) 156,621 mm.
FA# = 594,670 mm. ..........  (:2) 297,3353 mm. ....... (:2) 148,6676 m.
SOL= 556,875 mm.  .......... (:2) 278,4325 mm.  ....... (:2) 139,21875
SOL#= 528,596 mm. .........  (:2) 264,2980 mm.  ...... (:2) 132,1490 mm.
LA = 495 mm. ...................  (:2) 247,5 mm. .............. (:2) 123,75 mm.
LA# = 469,863 mm. ..........  (:2) 234,931 mm. .........  (:2) 117,465 mm.
SI = 446,0036 mm. ...........   (:2) 223,0015 mm. ........ (:2) 111,5007 mm.
DO = 417,656 mm. ...........   (:2) 208,8281 mm. ........  (:2) 104,4140 mm.
DO# = 396,447 mm. .........   (:2) 198,223 mm. ..........  (:2) 99,111 mm.
RE = 371,25 mm. ..............  (:2) 185,625 mm. ...........  (:2) 92,8125 mm.
RE# = 352,397 mms. .........  (:2) 176,198 mm. ...........  (:2) 88,099 mm.
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BAJO ESTAS LINEAS: Sobre el cielo de Urueña, ese pueblecito tan bello, pleno de librerías y en el que viven muchos músicos; fue en el que un día expliqué en la Fundación Joaquín Díaz mi teoría sobre la afinación pitagórica. He puesto ya ordenados los intervalos de las notas en diferentes octavas y sobre la cuerda 6ª de la guitarra (en afinación pitagórica). Mostrándose que no hay Quinta del Lobo, habida cuenta que tras la primera octava todas las notas se repiten en un medio (o el doble) de su valor.
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2) LOS INTERVALOS EN LA AFINACIÓN PITAGÓRICA Y LOS ORÍGENES DE LAMBDA (afinación bien temperada):
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Una vez comprendido que no hay que llegar al "comma pitagórico" habida cuenta que tras once intervalos y doce notas, las siguientes ya valen un medio (o el doble) de las anteriores. Lo cual descarta la posibilidad de Quinta del Lobo ni de disonancias; ya tan solo nos queda averiguar los tonos y sus intervalos. Pudiendo ver claramente que esta escala se compone de siete tonos y cinco semitonos, puesto que los últimos cinco tienen un valor más pequeño. Siendo así, los intervalos entre tono y tono nacen de dividir el anterior por 1,053497942, mientras en los semitonos esa distancia es menor ya que hay que fraccionar la nota previa por 1,06787109375.
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Habiendo estudiado cual es el valor numérico de estos dos intervalos se llega proto a una proporción procedente de la octava, en las formas:
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EL SEMITONO
3188646 : 2985984 = 1,0678710937
(2x313) : 126 (dos por tres a la trece : doce a la sexta) = 1,06787109375
EL TONO
39: 124  (tres a la novena dividido por doce a la cuarta) = 19683 : 20736 = 1,053497942
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Un intervalo este último de donde procede claramente Lambda como LAMBDA RAIZ 12 DE 2 ( que equivale a 1,059463094...)
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12Ѵ2 = 1,059463094
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Por cuanto decimos, bastaría conocer estos intervalos para saber el valor de cada nota, siendo aquellos sobre la cuerda sexta de la guitarra, estos que abajo recogemos (MARCANDO EN GRANDE LOS TONOS Y EN NÚMEROS MÁS PEQUEÑOS LO SEMITONOS) :
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MI = 660 mms. (:2) 330 mm. (:2) 165 mms 
DIVIDIDO por 1,05349794238683
FA = 626,4843752300372 mm. (:2) 313,2421876150186 mm. (:2) 156,6210938075093mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
FA# = 594,6707157687426 mm. (:2) 297,3353578843713 mm. (:2) 148,6676789421856 Mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
SOL= 556,8750004089551 mm (:2) 278,4375002044775 mm. (:2) 139,2187501022388 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
SOL#= 528,5961919885318 mm. (:2) 264,2980959942659 mm. (:2) 132,1490479971329 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
LA = 495 mm. (:2) 247,5 mm. (:2) 123,75 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
LA# = 469,8632812500001 mm. (:2) 234,9316406250001 mm. (:2) 117,4658203125 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
SI = 446,0030364990237 mm. (:2) 223,0015182495118 mm. (:2) 111,5007591247559 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
DO = 417,6562500000002 mm. (:2) 208,8281250000001 mm (:2) 104,4140625000001 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
DO# = 396,4471435546878 mm. (:2) 198,2235717773439 mm. (:2) 99,11178588867195 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
RE = 371,25 mm. (:2) 185,625 mm. (:2) 92,8125 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
RE# = 352,3974609375001 mm. (:2) 176,19873046875 mm. (:2) 88,09936523437502 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
MI = 330 mm. (:2) 165 mms
Siguiente octava:
DIVIDIDO por 1,053497942386831
FA = 313,2421876150186 mm. (:2) 156,6210938075093mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
FA# = 297,3353578843713 mm. (:2) 148,6676789421856 Mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
SOL= 278,4375002044775 mm. (:2) 139,2187501022388 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
SOL#= 264,2980959942659 mm. (:2) 132,1490479971329 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
LA = 247,5 mm. (:2) 123,75 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
LA# = 234,9316406250001 mm. (:2) 117,4658203125 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
SI = 223,0015182495118 mm. (:2) 111,5007591247559 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
DO = 208,8281250000001 mm (:2) 104,4140625000001 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
DO# = 198,2235717773439 mm. (:2) 99,11178588867195 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
RE = 185,625 mm. (:2) 92,8125 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
RE# = 176,19873046875 mm. (:2) 88,09936523437502 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375 (SEMITONO)
MI = 165 mms
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TODO LO CUAL DEMOSTRARÍA QUE EL SISTEMA DE AFINACIÓN PITAGÓRICO ERA DE POR SÍ PERFECTO, SIN PRECISAR AJUSTES Y SIN CONTENER LA LLAMADA QUINTA DEL LOBO (disonancias).
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SOBRE Y BAJO ESTAS LINEAS: Arriba, la iglesia de Urueña, sita en la plaza del Azogue, cuyo nombre nos recuerda al comercio y al dios Mercurio (que dominaba y "doblegaba" los metales). Abajo, el caserón de la Fundación Joaquín Díaz en la calle Real de Urueña; donde hace unos años expuse varías de mis teorías sobre la afinación pitagórica.
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Por lo demás, cuanto hemos expuesto explica por qué Javier Goldáraz Gaínza en su incomparable libro AFINACIÓN Y TEMPERAMENTOS HISTÓRICOS, escriba textualmente (en su pag. 54): "No parece que en la música griega el comma pitagórico constituyeses un problema (...) pero llegó a serlo con el aumento de alteraciones sobre el género diatónco a finales de la Edad Media". Todo cuanto demuestra que esta "Quinta del Lobo" no se debió más que a la mala interpretación de la teoría pitagórica tras la creación del Ars Nova y al ir situando trastes o introducir nuevas tecnologías en los instrumentos (en tiempos del románico). Sin tener en cuenta que (ciertamente) en aquella afinación, tan solo se busca una octava y tras ella, el resto son "copias" de la primera -dividida o multiplicada por 2- . 
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CITA
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(1): Las notas al ir multiplicando por 3/4 SALEN EN ESTE ORDEN (si empezamos por MI):
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"MI"–"LA"–"RE"–"SOL"–"DO"–"FA"–"LA#"–"RE#"–"SOL#"–"DO#"–"FA#"–"SI*"–"MI" (ídem).
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Y de empezar por DO como es común quedaría la serie como:
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"DO"–"FA"–"LA#"–"RE#"–"SOL#"–"DO#"–"FA#"–"SI*"–"MI" –"LA"–"RE"–"SOL"–"DO"– (idem)

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Por su parte y como marca la foto, LA FORMA DE HALLAR LAS NOTAS ES LA SIGUIENTE:
Utilizando de Monocordo la cuerda sexta de la guitarra:
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6ª al aire.. = 660 mm. "MI" (:2) 330 mms. "MI"2 (:2) 165 mms "MI"3
(165 · 3) = 495
495 mms. "LA" (:2) 247,5 mms. "LA"2 (:2) 123,75 mms. "LA"3
(123,75 · 3) = 371,25
371,25 mms. "RE" (:2) 185,625 mms "RE"2 (:2) 92,8125 mms."RE"3
(92,812 · 3) = 278, 4325 ; (x2) = 556,875
556,875 mms "SOL" (:2) 278,4325 mm. "SOL"2 (:2) 139,21875 m. "SOL"3
(139,21875 · 3) = 417,65625
417,65625 mms. "DO" (:2) 208,8281 mm. "DO"2 (:2) 104,4140 m. "DO"3
(104,4140 · 3) = 313,2421 ; (x2) 626,484375
626,484375 mms. "FA" (:2) 313,2421 mm. "FA"2 (:2) 156,621 mm. "FA"3
(156,621 · 3) = 469,8632
469,8632 mms. "LA#" (:2) 234,931 mm. "LA#"2 (:2) 117,465 mm. "LA#"3
(117,465 · 3) = 352,397
352,397 mms. "RE#" (:2) 176,198 mm."RE#"2 (:2) 88,099 mm. "RE#"3
(88,09936 · 3) = 264,2980 (x2) 528,5961
528,5961 mm. "SOL#" (:2) 264,2980 m. "SOL#"2 (:2) 132,1490 m. "SOL#"3
(132,1490 · 3) = 396,4471
396,4471 mm. "DO#" (:2) 198,223 mm. "DO#"2 (:2) 99,111 mm. "DO#"3
(99,1117858 · 3) = 297,3353 (x2) 594,6707
594,6707 mm. "FA#" (:2) 297,3353 m. "FA#"2 (:2) 148,6676 m. "FA#"
(148,6676 · 3) = 446,0036
446,0036 mmts. "SI" (:2) 223,0015 mmts. "SI"2 (:2) 111,5007 m. "SI"3
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