HARMÓNICA DE CLAUDIO PTOLOMEO: Libro II; análisis y estudio (segunda parte, continuación del Capítulo 12 : HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS).

DEBIDO A LA EXTENSIÓN DEL ARTÍCULO, SE HA DIVIDIDO EN DOS PARTES; SIENDO ESTA LA SEGUNDA. LA PRIMERA PODRÁ ENCONTRARSE en mi página (capítulo 12, I)
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SOBRE ESTAS LINEAS: Nuevamente una imagen de la Plaza del Azogue (en Urueña -Valladolid-), junto al casón de la Fundación Joaquín Díaz; donde en su día expliqué los pormenores de la afinación pitagórica (clásica -o cromática- y enarmónica). Bajo la fotografía en la que vemos la parroquia de Urueña, he recogido otra vez los intervalos en los dos tipos de temperamentos pitagóricos: El primero, denominado "clásico" y atribuido al maestro de Samos, se basaba en multiplicar 3/4, once veces y desde una misma nota. El segundo (columna de la izquierda), llamado "Enarmónico" y atribuido a sus discípulos -Arquitas de Tarento o Terpandro de Lesbos-. Era un sistema más depurado que formaba la Escala multiplicando desde una nota, cinco veces por 3/4 -obteniendo de ese modo, seis tonos-; tras lo que luego dividía nuevamente la nota inicial, en otras seis ocasiones y por la misma fracción (o la multiplicaba por 4/3 -obteniendo las siguientes seis-). Todo lo que nos es imprescindible conocer y comprobar, para comprender lo que en su capítulo sexto Ptolomeo expresa (tal como a continuación explicamos).
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CAPÍTULO VI:
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Quizás extrañe al lector que en esta segunda parte vayamos integrando varios capítulos del Libro Segundo en unos solos párrafos (al margen de extendernos en el presente). Pero es que tras las exposiciones ya analizadas y lo que explica en el título sexto, el alejandrino cae en un absoluto manierismo de formas; en las que en múltiples ocasiones, se limita simplemente a repetir ideas y sobre todo a incluir unos diferentes métodos de afinar -que denomina "modos", "tonos" o "géneros"; y que va recogiendo junto a las razones por las que él ve la consonancia de notas-. Entre ellos, destaca trece Escalas como "oficializadas en Grecia"; pero que realmente pueden subdividirse en otros tantos medios de regular "Tonos" que a su vez se subdividen en distintas fórmulas a las que llama "Géneros". Dando todo ello lugar a lo que es un verdadero vergel de intervalos y Octavas, en los que cada escuela (jonia, lidia, mixolidia etc) van manifestando distintas fórmulas para determinar el valor de las notas. Siendo el hecho más cierto -leyéndose como se lea el texto- que en todos solo destacan siete notas (ocho, más la de comienzo) y nunca nos hablará de una Octava de doce, compuesta por tonos y semitonos -tal como hicieron los pitagóricos-.
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Todo lo que nos lleva a concluir que los distintos sistemas o escuelas de afinación -con sus diferentes "Modos" y "Géneros"-, fueron un verdadero "manierismo matemático", a través del cual cada tendencia filosófica -o cada ciudad y "liga"-, quería destacarse por tener su propia fórmula de ajustar las cuerdas. Pero no buscaban un sistema unificado de hallar las notas, igualmente reguladas o perfectamente graduadas -tal como la armonía precisa-. Pudiendo afirmarse que (a mi juicio) el único método de afinación fue el pitagórico -cromático o enarmónico- importando a Grecia a mediados del siglo VI a.C.. Mientras los demás temperamentos, eran descendientes de aquel introducido por Pitágoras; en los que muchos, se limitaban a ser simples conjeturas sobre la Escala -conformando teorías, ajenas al sonido y más próximas al cálculo o a la geometría-. Aunque mejor pasaremos a explicar lo que decimos, para que nuestras ideas sean por todos comprendidas:
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El capítulo sexto se titula: "Cómo la magnitud conjunta de octava más cuarta tuvo la consideración de sistema perfecto" (13) . Comienza Ptolomeo con las palabras: "es construido conforme a la magnitud compuesta de octava más cuarta, que se denomina conjunto" . Explicando en él que tal método de "Octava+Cuarta" fue introducido por los antiguos, al ser más modulante (todo lo que razona con amplias explicaciones entorno a las notas e intervalos que produce). Llamando Sistema Conjunto a esa fórmula por la cual se encuentra una serie de siete notas finales más la Mese y que sobre ella tiene otras tres (nete, paranete y trite). Siendo así, el método del que habla lleva la siguiente notación, con once tonos:
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Nete // Paranete // Trite // Mese (media) // Likano del T.M. // Parípate del T.M // Hípate del T. M. // Likano del T.I. // Paripate del T.I. // Hipate del T.I. // Proslambanómeno.
Hemos marcado en rojo las tres primeras, debido a que la única variación existente entre el sistema anterior y suyo, con este. En el que Mese no quedaría en medio de las dos series de siete notas, sino tras Nete, Paranete y Trite. Tonos que serían -junto a Mese-, las que marcarían los intervalos y el resto de tonos. Pues una vez obtenidos estos cuatro primeros valores (los de Nete, Paranete, Trite y Mese), se harían cuartas desde ellas (multiplicándolas por 2/3) para ir ajustando el resto de los intervalos y el valor de cada cuerda restante. Todo lo que tras haber sido explicado, sigue Ptolomeo con la razones de armonía muy complejas que contienen, razonando los beneficios de este método que denomina conjunto y que en su base consiste en sumarle a la Octava una Cuarta; es decir, calcular las notaciones como (x + 2/3), tal como brevemente explicamos:
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LA OBTENCIÓN DE LA ESCALA A TRAVÉS DE OCTAVA MÁS CUARTA ("sistema perfecto" para Ptolomeo):
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Si observamos el listado bajo la imagen que encabeza el artículo -correspondiente a la plaza del Azogue de Urueña- veremos de nuevo, destacados, los intervalos en las dos afinaciones pitagóricas. Observándose en la columna de nuestra izquierda la fórmula posterior, denominada "Enarmónica" que ya dijimos se atribuía a los discípulos de Pitágoras. Siendo su método una mezcla de Quintas y Cuartas, por cuanto primeramente multiplica cinco veces por 3/4 y más tarde vuelve a hacer lo mismo dividiendo otras seis por igual fracción. De tal modo, tras haber hallado cinco tonos multiplicando por 3/4; regresa hasta la nota inicial, desde la cual divide otras seis veces por 3/4 (o multiplica por 4/3, que es lo mismo y lo que se denomina Cuartas). 
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La diferencia entre ambas es muy sencilla de comprender, pues la Pitagórica consiste simplemente en comenzar desde una nota e ir sucesivamente operando por 3/4 (hallando Quintas) Mientras la enarmónica, tras hacer lo mismo por cinco veces, regresa al punto de partida, desde donde vuelve a dividir otras seis -de igual manera-. Todo ello, del siguiente modo:
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Multiplica por QUINTAS (3/4):
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,5 hertzios = MI
1- (660 · 3/4) = 495 mm......... // ......... (82,5 : 3/4) = 110 Hz. // = LA
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm. .. //.,,,,, (110 : 3/4) = 146,66... Hz // = RE
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. //(146,6 : 3/4) :2 = 97,77 Hz// = SOL
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // .. (97,77 : 3/4) = 130,37 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,37 : 3/4) ·2 = 86,91 Hz// = FA
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Multiplica por CUARTAS (4/3):
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
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Como podremos ver más arriba, el sistema enarmónico admite plenamente la OCTAVA+Cuarta (1+4/3 = 7/3), tanto que halla seis de sus doce notas con este método; de lo cual hay que considerar que la frase de Ptolomeo acusando a los pitagóricos de no advertir la Cuarta como consonancia, solo se referiría al primer sistema (el atribuido propiamente a Pitágoras); con el cual se templaba multiplicando once veces por 3/4. Todo lo que producía una Escala en la cual el tercio (1/3; 2/3 o bien 4/3) no se contemplaban. Muy por el contrario, si temperamos tal como nos dice el alejandrino -aplicando la regla de 2/3 sobre el valor de una octava- veríamos que las notas obtenidas serían las pitagórico-enarmónicas. Notación que termina resultando la siguiente:
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OCTAVA + CUARTA de Ptolmeo = (x + 2/3)
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
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Obteniéndose así una primera octava, tal como la debió concebir inicialmente el alejandrino, por Cuartas y de solo siete notas. Cuyos valores ordenados son los siguientes:
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 herztios = MI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
4- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
5- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
6- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
7- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
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Por lo que Ptolomero, para crear su Esacala de quince notas, añade simplemente dos series de estas; situando en la mitad la Mese (correspondiente a nuestro MI y que se habría de repetir por tres veces -a menos que queramos ver Mese como una nota distinta entre "RE" y "MI"). Siendo el comienzo de la temperación de esta cítara -o Escala- ptolemaica, los siguientes valores enarmónicos:
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
4- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
5- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
6- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
7- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
8- Nota MESE:....330 mm. ..............//.............. 165 hertzios = MI (Tierra)
9- (440 · 4/3) = 586,66 :2 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 :2 Hz// = FA#
10- (391,11 · 4/3) = 521,481 :2 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 :2 Hz//= SOL#
11- (347,65 · 4/3) = 463,533 :2 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 :2Hz //= LA#
12- (660 · 4/3) : 2 = 440 :2 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 :2 Hz. // = SI
13- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11 :2mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 :2Hz //= DO#
14- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 :2 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 :2Hz/ = RE#
15- Nota final:....165 mm. ..................//................... 330 hertzios = MI
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SOBRE ESTAS LINEAS: Arriba, un "CANON PTOLEMAICO" usando el diapasón de la guitarra moderna donde simulamos el monocordo, sobre la cuerda 6ª; que tocada al aire vibra 660 milímetros (66 centímetros) y es un "MI" de 82,4 Hertzios. En el centímetro 33 (justo en su mitad) estaría el nuevo "MI", del doble de Hertzios (164, 81); tanto como otra vez en su mitad se hallaría el tecer "MI" (de 329,62 Hz). Hemos querido poner a lo largo de todo el mástil las QUINCE NOTAS DE PTOLOMEO, en Modo Mixolido; tal como sonarían (comenzando desde el referido "MI" de 329,62 Hertzios, situado en el milímetro 165 de la 6ª cuerda de la guitarra). Este que vemos sería el Monocordo del Modo Mixolidio (el primero que referirá en su capítulo X), cuyos intervalos y sonidos se corresponderían con lo que vemos en imagen. Algo interesante para todos los que desearan probar qué sonido pudo tener las distintas "cítaras que Ptolomeo propone, en sus diferentes Tonos y Géneros.
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BAJO ESTE PÁRRAFO: El mismo caso anterior, pero con la descripción detallada de las notas e intervalos, por milímetros y por Herztios. Como podremos ver, seria fácil llegar a "traducir" todos los modos que expresa el alejandríno, conociendo de qué forma sonaban las cítaras según los Tonos y los métodos de afinar. Algo que quizás pudiera ser de gran interés para presentar ante una audiencia en un museo o una universidad; puesto que oir y ver la música tal como se sentía hace dos mil años, es una experiencia inigualable.
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CAPÍTULOS DE VII, VIII y IX:
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El capítulo siguiente (séptimo) se titula "De las modulaciones según los llamados tonos" (14) , y en este el autor sigue tratando sobre los sistemas "perfecto" y "conjunto" (por Cuartas o por Octavas), exponiendo los pormenores de sus armonías. Continúa con ello en el octavo, donde presenta explicaciones muy semejantes y que contienen una tremenda complejidad matemática; habida cuenta que intenta razonar conforme a longitud de cuerdas, los sonidos más armónicos. Todo lo que realiza con múltiples exposiciones aritméticas, entre las que tan solo distinguir las notas -de las que nos habla-, ya tiene una enorme complejidad. Aquel capítulo titulado como: "Qué es necesario que los tonos extremos sean delimitados mediante la octava", va seguido de otro intitulado: "Que es necesario suponer sólo siete tonos, en igual número que las formas de la octava"(15) . Momento en el cual el matemático explica el por qué de las siete notas, desde su punto de vista.
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Pese a todo, y como hemos visto, los siete tonos nacen simplemente de modo natural al templar por Quintas un monocordo. Es decir, que si tomamos una cuerda tensada y multiplicamos once veces su distancia total (o los Hertzios) por 3/4 -rectificándola cada tres veces y aumentándola en su doble, para que se mantenga en una misma Escala-. Resultará que habremos hallado 7 tonos naturales -contando desde el cual partimos- junto a los 5 semitonos. Un total de doce notas, que se comprenden en la temperación más básica y de ello las siete enteras, más cinco semitonales; no por motivo alguno relacionado con la geometría o la aritmética lineal (tal como Ptolomeo pretende justificar en este capítulo). Por lo demás, si realizamos lo mismo que hicimos antes con una cuerda, multiplicándola esta vez por Cuartas (2/3), hemos visto que se obtiene igual resultado, aunque ello no nos lleva hasta el mismo punto. De lo que no puede razonarse por Cuartas la Octava; pues la razón de las siete notas es tan sencilla como la de que nacen al ir multiplicando por Quintas una longitud (once veces por 3/4). Lo que realizado a modo pitagórico clásico, lleva finalmente hasta un punto muy cercano al doble del inicial -ya que (11 · 3/4) · (2 · 2 · 2 · 2) = 11 · 12-.
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SOBRE ESTAS LINEAS: Junto a la portada del libro de Rafael Pérez Arroyo, recojo los intervalos griegos, según los Siete Tonos (formas de Escalas), tal como los recoge Ptolomeo. Métodos de hallar la Octava que se denominan: Mixolidio, Lidio, Frigio, Dorio, Hipolidio, Hipofrigio, Hipodorio (conforme a los tres pueblos que instituyen los sistemas -el dorio, el frigio y el lidio-). En principio, los distintos Modos de templar debieron crearse por comenzar cada vez el temperamento, desde una nota distinta. Pues si iniciamos una afinación empezando desde el "DO", desde un "RE", ó de un "MI" (partiendo de un tono inicial diferente), veremos que el resultado va a ser también otro. Ello, porque si fuéramos templando del modo pitagórico (multiplicando cada Quinta por 3/4), los semitonos y los tonos variarían en su totalidad y razones. Todo lo cual debió hacer suponer que empezar las Escalas en unas notas distintas, confería una "tonalidad" diferente a la Octava; lo que finalmente se convertiría en unas simples fórmulas de intervalos variadas (tal como vemos en la imagen, a la derecha) a las que dieron nombre con los "pueblos griegos" que comenzaban las Escalas por una distinta.
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Hemos querido destacar las "siete notas" a las que hace continua referencia Ptolomeo, como dogma matemático mantenido en su época. Ya que el mismo sabio menciona que no hay que utilizar semitonos, pues la búsqueda del medio tonal deformaría las posibilidades de trabajo e impediría poder afinar en distintos Modos. Advirtiéndonos que hacerlo, la nota "Mese", se transformaría en otra, perdiendo su capacidad de diferenciar bien unos Modos y Generos, sin poder distinguirlos entre sí; al utilizarse semitonos. Todo lo que carece de base armónica; tal como explicamos en el pie de imagen siguiente.
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BAJO ESTOS PÁRRAFOS: De nuevo la Casona de la Fundación Joaquín Díaz en Urueña (donde pude demostrar en una ponencia cómo se templaba al modo pitagórico). Sobre esta he recogido los intervalos que se producen si multiplicamos una cuerda por 3/4 once veces en el modo pitagórico clásico (rectificándola, al doblar su valor en cuatro ocasiones, para que mantenga las longitudes en una misma Escala). Ello conlleva la aparición de doce notas: Siete "tonos" y cinco "semitonos". Cuyas distancias -si las medimos partiendo desde los 660 milímetros de la cuerda 6ª en la guitarra- son las que se observan en el "cielo de Urueña" en la foto. Correspondiendo el intervalo de Tono a 1,053497942 (muy cercano a Lambda) y el de Semitono a 1,06787109375.
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CAPÍTULOS DEL X AL XVI:
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Tras las referidas explicaciones, trata el alejandrino del "Cómo podrían establecerse mejor los excesos entre los tonos" ; cuanto expone en su capítulo décimo, en donde escribe sobre los Modos de afinar: "suponiendo que los tres más antiguos, llamados dorio, frigio y lidio por los nombres de los pueblos de los que han surgido (...) se diferencian entre sí por un tono por esto, de tonos, y dándoles el nombre, quizá , a partir de éstos realizan la primera modulación consonante desde el más grave de los tres, el dorio tono "mixolidio", una cuarta ascendente, llamando a este por su proximidad al lidio, porque ya no hacía el exceso total respecto a él de un intervalo de tono, sino con la parte restante de la cuarta tras el dítono desde el dorio hasta el lidio situado bajo éste una cuarta" (16) . Palabras que para entenderlas habremos de recurrir tan solo a ver cuales son las diferencias de intervalos, comprobando en los esquemas que hemos recogido -junto a las imágenes- que realmente nos habla de como unos Modos comienzan desde una nota y otros desde otra distinta (de igual forma que si una Escala la empezáramos y terminásemos de "DO" a "DO", la siguiente fuera de "RE" a "RE", y así sucesivamente).
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Distinguiendo Ptlomeo entre los clásicos y conocidos:
Mixolidio, Lidio, Frigio, Dorio, Hipolidio, Hipofrigio, Hipodorio.
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Siete fórmulas que comenzaban sus Escalas en una nota distinta y como tal podemos considerar que el Mixolidio iba de nuestro DO al DO; el Lidio de RE a RE; el Frigio de MI a MI; el Dorio de FA a FA -y así sucesivamente hasta completar las siete notas y los siete "Tonos" de afinación (llamados de ese modo según el alejandrino, por tener uno distinto de arranque, en cada caso-.
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Más complejo es el asunto que toca en el siguiente capítulo, intitulado: "Que no es necesario incrementar los tonos por semitono" (17) . Una idea a mi juicio "peregrina" que nos permite observar como en la época del sabio alejandrino existía una profunda regresión musical, hasta el punto de desconocer las razones del semitono (que se justifican conforme hemos ido viendo, surgiendo de modo natural en las afinaciones pitagóricas). Basa su teoría, afirmando que si se aumenta el diapasón a más de siete, ello obligaría que la Mese de dos diferentes "géneros" -o "modos" de afinar-, sea la misma; escribiendo literalmente: "Pero si suponemos más tonos junto a éstos (lo que hacen quienes incrementan sus excesos en semitonos), será forzoso que las meses de dos tonos se asignen totalmente a la posición de una sola nota, de forma que estos dos sistemas se moverán en su totalidad en la transposición de uno a otro de estos dos tonos, sin que mantengan ya común la tensión inicial, con la que se medirá lo particular de la voz".
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Unos hechos referidos por Ptolomeo que en verdad nada tienen que ver con la razón del semitono; que como hemos probado, nace desde la temperación por 3/4 y por 4/3 (tal como he explicado en numerosas ocasiones). Dos tipos de tono que -como podremos ver en la imagen superior- en el caso pitagórico produce dos formas de intervalo: Claros, precisos y bien justificados. Siendo aquellos fracciones muy próximas a Lambda, que como sabemos será la clave final para hallar una "igual temperación" (en virtud a la raiz decimosegunda de dos) -ver cita (18)-. Puesto que al ir templando a modo pitagórico -de manera tan sencilla como multiplicar cada vez por 3/4-, obtenemos no solo una Ecala equilibradamente templada, sino además: Cinco SEMITONOS a un intervalo de 1,06787109375 . Junto a SIETE TONOS a un intervalo de 1,053497942 . Es decir, que casi se consigue la resolución plena y desde Lambda, que como sabemos marca la distancia entre notas en razón a raiz doce de dos (12Ѵ2 = 1,059463...).
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Llegamos así al capítulo decimosegundo de Harmónica -que se titula "Del difícil uso del canon monocorde"- ; que puede unirse tematicamente al decimotercero, en el que trata "De lo que Dídimo el músico propuso modificar en el canon" (19) . Siendo ambos una exposición teórica del uso del monocordo, de sus dificultades y de cuanto no debemos errar con él, para poder calcular bien las notas, valiéndonos de este objeto (consistente en una larga cuerda tensada, sobre la que se va multiplicando o dividiendo sus distancias; para así averiguar las Escalas que queremos hallar). Anotando en el epígrafe trece, como Dídimo el músico había mejorado este procedimiento, por medio de añadirle un sistema para mover su puente. Habla Ptolomeo de forma extensa sobre los problemas del Monocordo, habida cuenta que el referido "puente" a veces impedía a los estudiosos que llegasen a alcanzar la nota (o bien que la duplicaran). Lo que demuestra cómo los intervalos de la Octava y la ciencia de la música, era una materia que se dejaba en manos de los matemáticos; tanto como para que el alejandrino supiera todo pormenor acerca de estos monocordios -a los que llama Canon-. Cuyo arreglo por Dídimo, creemos más bien consistiría en poner lo que vulgarmente se denomina "trastes móviles" -que son simplemente trastes ajustables por un procedimiento de cuerdas (atadas al mástil), de tal forma que se nos permita subirlos y bajarlos a la altura donde deseamos fijarlos-.

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SOBRE ESTAS LINEAS: Tabla de los Géneros enarmónicos según diferentes autores, en la Harmónica de Ptolomeo. En la primera columna, los intervalos de Arquitas de Tarento; en la segunda los de Aristógenos; en la tercera los de Eratóstenes de Cirene, en la cuarta los de Dídimo el Músico y -finalmente-, los ptolemáicos (que menciona como "nuestros", aludiendo seguramente a su escuela, grupo, o ágora matemático). Podremos ver en el esquema, que en todos ellos está presente 80 -que es igual a (120 · 2/3)-; tanto como 90 -que corresponde a (120 · 3/4)-; siendo la Cuarta y Quinta del tono inicial. El resto de valores de notas son simples variaciones de intervalos, tal como marcan en su parte baja las tablas y atendiendo a simples proporciones geométricas o aritméticas. Por lo demás, hemos incluido el listado bajo un espejo del Imperio Nuevo Egipcio, en cuyo frente he dibujado algunos de los sistemas trigonométricos -muy básicos-, que utilizaban para medir el arco terrestre en el Nilo.
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BAJO ESTE PÁRRAFO: Siguiente tabla que presenta Ptolomeo en su capítulo XIV; en este caso la de primera de los géneros Cromáticos (recogida de la página 117 de la traducción de Redondo Reyes). Como podremos ver, apenas se diferencian estas notas de las anteriores, teniendo entre sus dos tonos centrales siempre las que corresponden a la Cuarta y la Quinta (es decir, a 80 y 90 respectivamente). Sobre el listado que nos proporciona el autor alejandrino, diremos que a nuestro juicio las Escalas Cromáticas debieran contener semitonos, aunque parece que el concepto de cromatismo en estos investigadores del "tono" dista mucho de lo que fue entre aquellos que temperaban con doce notas... . En este caso hemos situado la tabla, bajo una misma imagen del espejo egipcio, en el que he dibujado las formas de observar el horizonte en la Antigüedad (como método para establecer posibles medidas geodésicas).
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Llegamos así a los dós últimos capítulos en los que el autor prácticamente se limita a describir una relación de diferentes sistemas de templar; presentando más de dieciocho, que inicia bajo el título de: "Exposición de los números que hacen la sección de la octava en el tono inmodulante y en cada uno de los géneros". Donde recoge las cuatro primeras tablas que podemos ver en imágenes (bajo y sobre estos párrafos), comenzando por la de los "GENEROS ENARMÓNICOS", que como sabemos se hallan operando de forma inversa al cromático, multiplicando por 4/3 (o dividiendo la anterior nota por 3/4 ). En estas define las afinaciones que recomiendan Arquitas de Tarento, Aristógenos, Eratóstenes de Cirene, Dídimo el músico y él mismo (al que nombre como "nosotros" -siendo claro que se está refiriendo a "su escuela" matemática de Alejandría-).
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En imágenes podremos ir viendo los intervalos que marca en cada caso, siendo muy fácil comprobarlos musicalmente, bastando traducir la primera nota por el tono inicial que deseemos y luego marcar unas iguales proporciones (fraccionando de un mismo modo las siete notas que recomienda). Por lo demás y tal como hemos dicho, se encuentran en el centro de todas las Escalas la Cuarta y Quinta; los 2/3 y el 3/4 (de 60 o de 120) que se corresponden a: 80 = (2/3 · 120 ) y (60 · 4/3). Mientras 90 = (3/2 · 60) y (3/4 · 120).
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No muy distintas son las Escalas que muestra en los siguientes esquemas, denominándolas como Cromáticas (que en verdad carecen de todo cromatismo, pues no contienen semitonos). Ello unido a una tabla de Octavas Diatónicas, hace que sean casi indistinguibles unas de otras y que tan solo parezcan meras variaciones de cálculo sobre unas mismas bases; en cuyo principio estaría el primer tono que marca en 60 y su doble 120 (la Octava); conteniendo siempre en su centro, la Cuarta y la Quinta (el 80 y el 120). Consistiendo aquellas extensas relaciones -a mi entender-, en un simple manierismo matemático; en el que para nada se observan las razones de armonía o cromatismos. Sino que más bien parecen, distintas Escalas promulgadas como un alarde de aritmética -bastante repetitivo-; "cortando" las Octavas y sus proporciones, con simples cálculos (equidistantes).
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Por todo cuanto decimos, más que una teoría de la música; lo que muestra Ptolomeo en estos dos capítulos finales de su Libro II, nos resulta una "historia" de las Escalas griegas. Algo que no deja de ser interesantísimo desde el punto de vista histórico; aunque no desde el científico, porque muestra una tremenda regresión (que no llega a comprender siquiera las razones matemáticas de afinación que el samio llevó hasta Grecia, a mediados del siglo VI a.C.). Algo que indica posiblemente, que el medio de templar pitagórico debió ser importado desde Mesopotamia -o del Egipto antiguo-; sin haberse llegado a comprender plenamente en la Hélade. Civilizaciones milenarias del desierto, en las que sabemos vivió el sabio (como novicio de templo) y donde se conoce que Pitágoras estudió los pormenores y secretos de sus ciencias.
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Finalmente, el capítulo quince contiene un total de catorce tablas, titulándose "Exposición de los números que hacen las secciones de los géneros habituales en los siete tonos" (20) . Siendo aquellas Escalas que recoge: 1. Mixolidio desde la nete // 2. Lidio desde la nete // 3. Frigio desde la nete // 4. Dorio desde la nete // 5. Hipolidio desde la nete // 6. Hipofrigio desde la nete // 7. Hipodorio desde la nete // 8. Mixolidio desde la mese // 9. Lidio desde la mese. // 10. Frigio desde la mese // 11. Dorio desde la mese // 12. Hipolidio desde la mese // 13. Hipofrigio desde la mese // 14. Hipodorio desde la mese //. Terminando con una relación más, en la que incluye las distancias generales de todos los tonos; esquema que hemos recogido en la imagen arriba, junto a la portada del libro de Pérez Arroyo (ver quinta fotografía, superior). Siendo este un listado en el que podemos comprobar que todos estos "tonos", "modos" o "géneros", aconsejan unas mismas distancias -aproximadamente-, conservando comunmente en su centro el 80 y el 90 (es decir La Cuarta y la Quinta = 4/3 y 4/3, respectivamente).
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Para terminar el análisis que vamos presentando de esta obra del alejandrino, expresaré que los distintos Modos, Géneros y Tonos que nos ofrece (y que pueden llegar a configurar una centena de Escalas y Octavas distintas). Nos resultan más bien "un juego matemático" que un tratado armónico; pues su planteamiento es semejante al que crea un caleidoscopio en el que cada vez que se giran sus piezas, produce nuevas formas. Todo lo cual no es más que un tremendo manierismo aritmético y no propiamente musical; pues la acústica creemos que está muy lejos de estas infinitas posibilidades de entender las notas. Tanto, que tristemente los métodos que Ptolomeo menciona (plenos de escuelas, géneros, tonos y modos) habían olvidado el fundamento de la Escala: El Temple pitagórico. Tanto como para carecer de semitonos y desconocer la razón de las doce notas (siete naturales y siete medias). Una Octava que obtenían los discípulos del samio de un modo tan sencillo como "casi perfecto", simplemente multiplicando por 4/3 -tal como hemos explicado repetidamente-.
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SOBRE ESTAS LINEAS: Tabla segunda de los Géneros Cromáticos -siempre según Arquitas de Tarento, Aristógenos, Eratóstenes de Cirene, Dídimo el Músico y Ptolomeo (mencionado como el "nuestro"). Permanecen en estas escalas "cromáticas", y en su centro; la Cuarta y Quinta -el 80 (120 · 2/3), tanto como el 90 (120 · 3/4)-. Sin contenerse semitono alguno (simplemente siete notas); siendo los intervalos que nos presenta, simples variaciones por diferentes cálculos -tal como los marcaron los referidos matemáticos; sin razón exactamente armónica de la totalidad de un concepto de Escala- . De nuevo, el listado está bajo el espejo del Imperio Nuevo, sobre el que esta vez representamos el Cuadrante y las medidas terrestres, tanto como algunas expresiones trigonométricas de las que se valían los geógrafos antiguos (ya mencionadas por Eratóstenes de Cirene -que logra una aproximación bastante exacta al Meridiano; motivo sobre el cual hemos escrito extensos artículos-).
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BAJO ESTE PÁRRAFO: Otra de las listas que presenta Ptolomeo en su capítulo XIV; en este caso, de los géneros Diatónicos (recogida de la página 118 de la traducción de Redondo Reyes). Como podremos ver, incluso tras el cambio de Cromático a Diatónico, apenas se diferencian sus notas de las que anota en anteriores tablas, teniendo siempre en su mitad la Cuarta y la Quinta ( 80 y 90). En este caso hemos situado el listado, bajo la imagen de un objeto con forma de geoide y en cuyo centro se observa lo que pudo ser un "ecuador". Asimismo marcamos las Latitudes aproximadas de Asuán, Alejandría y Atenas, para comprender que muy torpe hubo de ser la especie humana si no se dió cuenta de la esfericidad y del tamaño del planeta desde tiempos muy remotos... .
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Sobre todo, porque de ello -y de sus proporciones- dependía la orientación en el desierto a través de los astros, para la cual es esencial conocer ambos hechos (la esfericidad y el tamaño aproximado de la Tierra). Algo facilmente calculable, al menos en Egipto; pues es obvio que de Asuán (sito casi en el Trópico) hasta Alejandría se podía observar claramente la variación del Meridiano y tomar la medida del Arco. Simplemente estudiando las sombras, que en una misma fecha, que a tantos grados distaban enormemente de tamaño y profundidad. Debido a ello, los antiguos egipcios levantarían sus monolitos, obeliscos y pirámides; desde las que en tiempos muy remotos pudieron estudiar esas sombras, el reflejo de los cielos y la posición de los astros -valiéndose de espejos, estanques y alidadas; o a través de observatorios en sus construcciones-.
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Este artículo tiene una primera parte, que podremos hallar en mi pagina.

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CITAS:
(13): Op. Cit. (2) (pag 196 y ss)
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(14): Op. Cit. (2) (pag 201 y ss)
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(15): Op. Cit. (2) (pag 204 y ss)
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(16): Op. Cit. (2) (pag 206 y 207)
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(17): Capítulo XI, (pag 209 y ss.)

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(18): Tal como decimos, si templamos una cuerda once veces multiplicándola por 3/4 (rectificando cuatro veces su longitud, doblándola para hacer encajar siempre sus valores en el espacio de una misma Escala). Llegaremos a ver que los intervalos que aparecen son los siguientes.
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EJEMPLO, PARTIENDO DESDE 660 MILÍMETROS, EN UNA CUERDA 6ª DE LA GUITARRA:
MI = 660 mms. (:2) 330 mm. (:2) 165 mms 
DIVIDIDO por 1,053497942386831
FA = 626,4843752300372 mm. (:2) 313,2421876150186 mm. (:2) 156,6210938075093mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
FA# = 594,6707157687426 mm. (:2) 297,3353578843713 mm. (:2) 148,6676789421856 Mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375
SOL= 556,8750004089551 mm (:2) 278,4375002044775 mm. (:2) 139,2187501022388 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
SOL#= 528,5961919885318 mm. (:2) 264,2980959942659 mm. (:2) 132,1490479971329 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375
LA = 495 mm. (:2) 247,5 mm. (:2) 123,75 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
LA# = 469,8632812500001 mm. (:2) 234,9316406250001 mm. (:2) 117,4658203125 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
SI = 446,0030364990237 mm. (:2) 223,0015182495118 mm. (:2) 111,5007591247559 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375
DO = 417,6562500000002 mm. (:2) 208,8281250000001 mm (:2) 104,4140625000001 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
DO# = 396,4471435546878 mm. (:2) 198,2235717773439 mm. (:2) 99,11178588867195 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375
RE = 371,25 mm. (:2) 185,625 mm. (:2) 92,8125 mm.
DIVIDIDO por 1,053497942386831
RE# = 352,3974609375001 mm. (:2) 176,19873046875 mm. (:2) 88,09936523437502 mm.
DIVIDIDO por 1,06787109375
MI = 330 mm. (:2) 165 mms 
.
EL SEMITONO = 1,06787109375
3188646 : 2985984 = (2x313) : 126 = 1,06787109375
EL TONO = 1,053497942
39: 124 = 19683 : 20736 = 1,053497942
.
(19): Op. Cit. (2) (pag 211 y ss)
.
(20): Op. Cit. (2) (pag 218 y ss)

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