HARMÓNICA DE CLAUDIO PTOLOMEO: Libro II -análisis y estudio- (primera parte del Capítulo 12 HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS).

DEBIDO A LA EXTENSIÓN DEL ARTÍCULO, SE HA DIVIDIDO EN DOS PARTES; SIENDO ESTA LA PRIMERA. LA CONTINUACIÓN PODRÁ ENCONTRARSE en mi pagina. 
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SOBRE ESTOS PÁRRAFOS: Destacamos la portada del libro de Rafael Pérez Arroyo (Egipto, la música en la Era de las Pirámides) como cabecera de este artículo; en el que trataremos del alejandrino Ptolomeo y del arte de la armonía en su tiempo -tal como el sabio lo concibió y describió-. Apenas habíamos citado la imponente obra de Pérez Arroyo, cuya carátula vemos arriba; habida cuenta, algunas diferencias en el modo en que él observa la música de Egipto y las formas en que nosotros la interpretamos. Aunque hoy trataremos sobre ello, porque de algún modo Ptolomeo es "seguidor" de las tendencias que el prof. Pérez Arroyo marca, considerando que las escalas utilizadas en el Nilo, fueron heptatónicas (de siete notas, tal como nos marca "Harmónica", del alejandrino).
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Personalmente, creo poder demostrar que las afinaciones más antiguas -primarias e incluso arcaicas-, fueron por Quintas y no por Cuartas, llegando a obtener doce notas; todo lo que ya enseñaba el sistema pitagórico. Ello, porque resulta más fácil llegar y manejarse en una Escala de doce tonos, que a una de siete. Habida cuenta que en Octavas la heptatónica no completa el diapasón cuando se progresa por Cuartas, dejando además enormes huecos en las "distancias" entre tonos -tal como veremos al hallarlas por Cuartas-. Todo lo que explica por qué el método más antiguo conocido para buscar las notas -el pitagórico- es tan simple como ir partiendo la cuerda en 3/4 (desde un punto inicial). Así, hasta obtener 12 notas; momento en el que llegamos al doble de la longitud en la que habíamos comenzado (es decir, que se completa la Octava).
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Por lo demás, la progresión en Cuartas (multiplicando por 4/3) no regresa al mismo punto inicial, ni termina por completar el diapasón; sino simplemente halla siete notas -más o menos equidistantes-, que entre los pitagóricos se denominaban "enarmónicas". No entraremos más en discusiones sobre el tema (que explicaremos en diversas ocasiones), aunque sí deseamos rendir homenaje a quienes como Rafael Pérez Arroyo, o el profesor Redondo Reyes, realizan una labor encomiable de análisis y divulgación de algunas de las artes con mayor dificultad de estudio, más clásicas y antiguas. A todos ellos: Gracias.  

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Comenzamos nuestro cuarto artículo sobre la obra musical de Claudio Ptolomeo, en el que analizaremos el libro II de su obra, "Hármónica" (TÁ ARMONIKÁ). Completando con ello la serie que hemos dedicado a al geógrafo, astrónomo, matemático y -fundamentalmente- sabio alejandrino. Los epígrafes de cada capítulo de este "volumen segundo", podremos consultarlos en cita (1) ; aunque los iremos destacando en cada parte de nuestro estudio. Análisis que continuamos, basándonos en el trabajo de Pedro Redondo Reyes. Profesor al que debemos una obra inigualable sobre Ptolomeo (que incluye su traducción, resumen, análisis e interpretación; con más de ochocientas páginas) (2) .
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Agradeciendo nuevamente a nuestra Sociedad que promueva y potencie personas como Pedro Redondo Reyes, que ha dedicado años al estudio de algo tan importante como es la música greco-latina; iniciamos este artículo. Pero antes de comenzar, desearía aprovechar esta pequeña tribuna, para pedir que no se olvide el mundo clásico (en especial el musical) y -sobre todo- que no se ahoguen las iniciativas de formar humanisticamente a nuestras generaciones venideras. Porque quienes ignoran el pasado artístico, sin valorar lo que antaño fueran maravillas -aunque en nuestros días muchas veces han caído en el olvido-; posiblemente se vean sometidos a una terrible regresión intelectual. Pero quienes rechazan el pasado; despreciando las artes, el pensamiento y los movimientos filosóficos de cientos -o miles- de años atrás; se enfrentarán a la difícil tarea de "repetir la Historia". Con todo lo que conlleva una involución de este tipo... .
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SOBRE ESTAS LÍNEAS: "Teoría de los tetracordios" del alejandrino, recogida sobre la foto de algunos instrumentos de época de Santa Teresa de Jesús, expuestos una de las vitrinas del Museo del Convento de la Encarnación -al que agradecemos nos permita divulgar la imagen-. Con este arpa doble o con la viola de gamba que vemos, inició y llevó a cabo su formación musical la Santa patrona de los escritores hispanos (estudiando con el famoso órgano realejo-portátil; restaurado por Saura, del que no hemos podido obtener imagen). Ello en una época en la que obras como la de Ptolomeo -o la de Boecio-, fueron la teoría musical a seguir (basada en unos profundos razonamientos matemáticos y filosóficos). Todo lo que conseguía elevar a quien la estudiaba, hacia el misticismo y a la búsqueda de Dios; a través la belleza artística -que unía la perfección estética con la ética-. Utilizando la ciencia como método de comprobación entre la razón y la percepción (tal como menciona Ptolomeo en su primer capítulo, del Libro II -que a continuación analizamos-). Más abajo explicamos los intervalos que el sabio de Alejandría expone y que recogemos en esos recuadros, junto a los instrumentos del convento que albergó a la famosa Santa (quizás porque en algún momento hubieron de probar la afinación ptoloméica, igual que otras muchas; como se hacía por aquel entonces).  
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ABAJO: De nuevo presentamos el cuadro de afinaciones que publiqué en mi librito "Creación, temperación e improvisación" (3); fruto de una ponencia pronunciada en Urueña (Fundación Joaquín Díaz), sobre el modo de templar en la antigüedad y en la era moderna. Debido a ello, recojo de nuevo la lista de distancias en cada modo de templar (usando como "monocordo" la cuerda 6ª de la guitarra), situándola bajo la imagen del castillo de ese precioso pueblo llamado Urueña, donde está la sede de esta Fundación. El listado, describe en milímetros y con un diapasón desde 660 mm. a 330 mm. ("MI" y "MI2"; tocada al aire y pulsando en su medio), los intervalos; tal como se afinaría la "sexta" en temperamentos: Pitagórico Enarmónico, Pitagórico cromático y en el actual (escala igualmente regulada por raiz doce de dos -12Ѵ2- ).
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CAPÍTULO 1º:
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I
nicia Ptolomeo este libro segundo con un epígrafe en el que pretende mostrar que simplemente por el oido y a través de la estética, se llegaría a percibir qué intervalos son los más equilibradas o bellos. Justificando así que la razón y la belleza tienen unión plena, tal como están conectados el gusto y la matemática. Puesto que lo más agradable de oir, será aquello que más se ajusta a las proporciones que la ciencia encuentra. Este, es un juicio que imperó en el Mundo Clásico grecolatino; seguramente por herencia tomada desde civilizaciones como la egipcia o la mesopotamia. Culturas milenarias de las que sabemos intuían o resolvían a través de conceptos y fórmulas matemáticas (o astronómicas), las razones de su existencia, las de la belleza y las de la mística.
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Siendo para el egipcio más antiguo, el triángulo o la pirámide, el símbolo primigenio de la vida y hasta de la conformación social -como representación del faraón en la cúspide y de su pueblo escalonadamente organizado bajo aquel-. Figura de tres lados asimismo tenida como el inicio de "lo iniciático" en su ciencia o de su economía; por cuanto en la triangulación se hallaba la propia esencia de la matemática y hasta del reparto de sus tierras. Una forma espacial que todos sabemos es la primera en geometría -un plano conformado por tres lineas-, pero que también fue indispensable para guiase en el desierto, o dividir las huertas del Nilo (por medio de la trigonometría). De todo ello, verían los egipcios y mesopotamios una unión pura y sobrenatural entre lo bello y lo sublime, y hasta de la atracción física con de la ciencia en la triangulación. Pues hasta el púbis tenía la forma de aquello que se parecía a una montaña (donde se elevaban cercanos a los cielos); figura fundamental de la matemática y gracias a la que se resolvía la circunferencia o la asignación de tierras faraónicas -habida cuenta que el cuadrado y el rectángulo se deforman; pero el triángulo (como método de crear lindes) es indeformable, atendiendo solo a sus ángulos y longitudes...-.
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Siendo así y bajo esta visión espiritual de lo que son hechos probados científicamente, intitulará Ptolomeo su primer capítulo con las siguientes palabras: "Cómo también a través de la percepción serían tomadas las razones de los géneros habituales". En el que tras una pequeña disertación, llega a la conclusión de que los sonidos de "Cuarta" serán los más agradables para el oido y los más perfectos matemáticamente hablando. Escribiendo textualmente: "De los tetracordios tocados entre los citaredos, hágase en primer lugar la cuarta desde la nete hasta la paramese, de los llamados tropos ABGD asignándose A a la nete" (4) . Para aclarar lo expresado por el sabio, diremos que en la frase anterior nos indica que han de partirse las cuerdas por 2/3 -o en 4/3-; hallando así la siguiente nota concordante (la Cuarta). En las imágenes superiores, hemos recogido la "teoría de cuartas" (o tetra-cordios), tal como la expone a través unos diagramas Ptolomeo; tablas que he tomado del libro de Pedro Redondo y que vemos superpuestas sobre algunas fotos del Monasterio de la Encarnación (de Ávila). Un convento cargado de "magia cultural" y donde -como ya dijimos- se hallan los instrumentos con los que se educó (y tocó) Santa Teresa, durante un tiempo en el cual la formación musical estaba asociada a estos criterios de belleza, sublimación, ciencia y ascetismo (nacidos desde sabios como Ptlomeo o Boecio).
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En un recuadro lateral de la mencionada foto superior, se podrá ver la teoría de "cuartas" tal como el alejandrino la explica; método que de algún modo intentaremos resolver o transcribir (debido a que no es fácil comprenderla). Ello porque lo que viene a decirnos el geógrafo, es que para las cítaras, el mejor sistema de templarlas (hallar la escala perfecta) es calcular sus intervalos en base a 7/6 y a 8/7. Todo lo cual se puede explicar simplemente con el siguiente ejemplo, sobre una guitarra moderna: Si tomamos una cuerda sexta, suponiendo siempre que tocada al aire mide 660 milímetros y que es un "MI" de 82,5 Hertzios (que evidentemente se repite en el 330, con 165 Hz). Habría que fraccionarse en estas proporciones en 7/6 y 8/7, para hallar sus notas más armónicas, de esta forma:
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El primer tono lo denomina "Nete", mientras al segundo lo llama "Paranete"; y el intervalo que marca entre ambas se correspondería en la guitarra, al existente entre el "MI" de 330 mm. y el milímetro 385 de la referida sexta cuerda -tras haber multiplicado (330 · 7/6)-. Ello pone esta "primera cuarta" en un lugar muy alejado al de otros temperamentos de la época, e incluso a la afinación moderna; ya que la sitúa esta nota segunda (Paranete) entre el DO# y el RE, en temples pitagóricos antiguos -enarmónico y cromático- tanto como el la Escala igualmente temperada (la actual) -ver imagen bajo estos párrafos donde de nuevo recojo los temperamentos en las distintas formas: Pitagórica clásica, Pitagórica enarmónica y moderna (igualmente regulada)-
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Después de esa Nete (alfa) -interpretada como un "MI" de 330 mm.- y la Paranete (beta) que ha de situarse en en el milímetro 385 de la 6ª en la guitarra. Pasaríamos al siguiente tono, que se hallará multiplicando el último por 8/7 y que tiene en su mitad una nota, a la que refiere como "Trite". De ello, la que denomina "Paramese" y enumera como "delta", se correspondería a un "SI" casi exactamente, estando en el milímetro 440 (4/3 de 330 mm). Punto en el que sitúa el "SI" también la afinación Enarmónica, aunque la nuestra moderna lo pone a 440,49 mm. y la pitagorica clásica en el 446 (ver cuadro en imagen siguiente). Por lo demás, parece que la "Trite" (que menciona entre las dos anteriores, y como "gamma" dándole el valor de 114,33); se correspondería en nuestra interpretación al "DO", que las afinaciones pitagóricas lo ponen en el milímetro 417,56. Todo lo que se confirma si aplicamos las mismas distancias que Ptolomeo anota entre la Paranete (B=105) y la "Trite" (G=114,33); dando el valor hallado en la guitarra de la Paranete (B=385); por lo que Trite sería equivalente a 385 · (114,33 : 105). Es decir que es un "DO" que habríamos de situar en el milímetro 419,21 de nuestra cuerda sexta en la guitarra moderna.
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Como decimos, Ptolomeo "olvida" exponer la razón matemática de la anterior nota ("Trite", que él anota de 114,33 y que traducimos como un DO de 419,21 mm.); cuyo intervalo con la que le sigue (Paramese=120) es de 0,95275 = 120/114,33. Una cifra muy cercana al inverso del "lambda" moderno, del cual no da explicación el sabio, aunque lógicamente habremos de hallarla dividiendo las notas diferentes veces por 7/6 y 8/7, hasta ver que allí encontramos el referido "DO" aproximado -denominado Trite por el alejandrino-. Lo mismo sudererá con la siguiente nota, que nombra como "épsilon" y que sitúa por debajo de la inicial (Nete=90), sin determinar su intervalo. Tono al que da un valor de 78,45 y que por ello hemos de traducirla en nuestro milímetro 287,65 de la guitarra -al ser 330 : (90/78,45)-; de lo que tras multiplicarla por 2 y convertida en 575,3 mm. podremos identificarla con un SOL (quizás). Nota que como se comprueba en el cuadro bajo estas líneas, los pitagóricos la situaban en el 556,875 mm. y la afiación moderna en el milímetro 554,99. Todo lo que de algún modo nos indica, que en este momento ya Ptolomeo no solo se aleja de una regulación igual (perfecta) de los tonos, sinó que además no explica claramente los motivos matemáticos que aplica para los intervalos (el denominado "ethos" entre los griegos, que correspondía a una "ética científica").     
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La siguiente nota a la que llama "FI", la halla aplicando de nuevo una "distancia" de 7/6, lo que nos situaría en la guitarra en el milímetro 335,591 (al ser 287,65 · 7/6). Lugar sin posible transcripción a notación moderna o pitagórica de este tono que nos marca como "Fi" y que correspondería a un traste entre el MI y el "RE" #, sin mucha razón armónica -a menos a mi juicio-. Pese a ello, el órden de la notación parece estar aliterado y ser precisamente esta "FI" la última de las notas, habiendo de pasarse por órden alfabético tras la "Épsilon" inicial a la "Eta" (puesta al fin de la fila segunda). "Eta" tiene un intervalo con la "Fi" de 8/7 y con su antecesora (épsilon) de (8/7 · 7/6). Es decir, que la nota "Eta" valdría 383,53 mm., lo que es igual a "Fi" multiplicada por 8/7 o bien a "Épsilon" multiplicada por (8/7 · 7/6) y la sitiaría entre el "DO"# y el "RE" (sin ajuste armónico con otras afinaciones). Siendo erróneo el valor que Ptolomeo le da de 105, haciéndola coincidir con la "Paranete", puesto que equivaldría a 104,6 (ya que 78,45 · 7/6 · 8/7 = 104,6). Del mismo modo que la anterior ("Fi") tiene un pequeño desajuste, ya que los 78,45 que da a la "Epsilon" multiplicados por 7/6, no son 91,53 sino 91,525.
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Finalmente, una última nota incluye con la enumeración de "Zetta" que habría de ir tras la "Eta" y antes de la "Fi"; cuya explicación tampoco se da y con una medida de 110,14. Todo lo que significa para interpretarla que observando su distancia con la siguiente, de 1,0529= (104,6/110,14); este es un número curiosamente muy cercano a "lambda" (raiz doce de dos). Así la "Zetta" en nuestro diapasón de la guitarra quedaría convertida en 403,84 milímetros, en un punto entre el DO y el DO# en las afinaciones comunes (ver el cuadro); tono del que no podemos intuir razón armónica, ni menos matemática. Por todo, cuanto expreso que las anotaciones de intervalos expuestas por Ptolomeo en este primer "tatracordio", a más de tener ciertos deajustes (que hemos visto en sus multiplicaciones); no las entendemos armónicamente y como consonantes; por lo que es muy posible que de afinarse siete notas así, ninguna de estas coincidieran plenamente en armonía.
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SOBRE ESTAS LÍNEAS: Amuleto egipcio con un "ankh" (cruz ansada) unida al pilar (djet) -propiedad del British Museum al que agradeceos nos permita divulgar la imagen-. En objetos como este, podemos ver claramente que quizás esos dos talismanes faraónicos (en Ankj y el Djet) fueran la idealización de "alidadas de cuerdas" y de enseres usados para cálculos astrónomicos -de ballestillas y báculos, tal como explicábamos en nuestro anterior artículo-. Bajo esta imagen (con un objeto muy semejante al que portaba Ptolomeo en uno de los grabados que recogimos). Hemos incluido la lista de temperamentos en dos de los tetracordios que este autor expresa; ya interpretados por mí como "notas modernas" en el diapasón de la guitarra: Primeramente, la que analizada anteriormente; y trás aquella, otra propuesta de afinación muy semejante a la primera -que estudiamos a continuación-.
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BAJO ESTOS PÁRRAFOS: Una segunda "teoría de los tetracordios" de Ptolomeo; plasmada sobre la foto de algunos cantorales, expuestos una de las vitrinas del Museo del Convento de la Encarnación -al que agradecemos nos permita divulgar la imagen-. Esta segunda relación de Harmónica parece tener mayor precisión concordante con afinaciones clásicas a la anterior -tal como vamos a explicar a continuación-.
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Seguimos así con otro de los cuadros que el alejandrino presenta en el mismo capítulo primero. Donde podremos observar, que las cuatro primeras notas son idénticas a las de la tabla anterior (A,B,C,D). Aunque en este caso da el valor a "E" (épsilon) de 93,2; algo que traducido a la guitarra situaría esta nota en el milímetro 341,73; habida cuenta que sería igual a {330 · (93,2 : 90)}. Un lugar próximo al RE# en afinaciones pitagóricas o en la nuestra, pero no muy exacto. La siguiente nota (a 9/8 de "Épsilon") es la "FI", última en la lista y que coincide curiosamente con el valor que antes daba a la "Eta" (véase cuadro anterior). Pese a ello, hay que destacar que (93,2 · 9/8) no es 105 -tal como Ptolomeo anota- sino 104,85; produciéndose de nuevo un ligero desajuste semejante al que tenía la anterior "eta" que valía 104,6 y el alejandríno la describía como 105. Siendo así, habríamos de considerar que "FI" se traduciría en nuestro diapasón a 384,44 milímetros -lo que es igual a {341,73 · (104,85 : 93,2)}-. Distancia entre DO# y RE, que no entendemos como muy armonizada.
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Presenta el posterior tono denominado como "Zetta" -que debiera ir por lo tanto detrás de "Eta"-, estimándola en 120 y siendo igual a la Paramese (del lado derecho). Anotando el intervalo con su nota predecesora en 8/7, lo cual sería cierto si "Fi" valiese 105, tal como él afirma. Sea como fuere, esta "Zetta" (o bien Paramese) es la Cuarta de la nota inicial y primera (Nete), correspondiendo a 4/3 de ella (90·4/3 = 120), por lo que ya la habíamos situado en el milímetro 440 del diapasón donde se había identificado con un "SI". Finalmente, incluye en el cuadro que analizamos, la nota "Eta"; que estima en 124,27, a 28/27 de distancia con la anterior (que sabemos vale 120 en Ptomeo y 440 mm. en nuestra guitarra). Antes de interpretarla advertiremos que (120 · 28/27) = 124,44 (no a 124,27 -tal como escribe-). Por lo que esta "Eta" se identificaría con el milímetro 456,29 en el diapasón de la guitarra; equivaliendo a una nota inexistente situada entre el SI y el LA# -para comprobar mejor las correspondencias, intervalos y las notas (si no las viera bien en imágen) consulte cita (5) -.
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Lo que hemos visto como resolución de Escala hemos de decir que armónicamente nos hace creer que las anotaciones del genial geógrafo, quizás no sean tan válidas en la música; pues no las hallamos del todo consonantes, sino más bien cacofónicas (pese a lo que no sería malo probar el sonido de las escalas que el sabio alejandrino recomienda). Por lo demás y sin ánimo de menospreciar la obra de Ptolomeo, creo que las explicaciones matemáticas a los intervalos no se ajustan ni se exponen con arreglo a las distancias que este marca y que son fundamentalmente cuatro: 7/6, 8/7; 9/8 y 28/27. Evidentemente el problema ante una Octava construida de este modo y solo de ocho notas, es que no hay una regla fija que desde un principio al final nos marque los intervalos. Es decir que, nos faltaría una fórmula para hallar las notas (ya que por cuartas, serían 4/3; 16/9; 64/27 etc).
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Pero además, las proporciones que muestra, son puramente pitagóricas, conteniéndose los 9/8 y los 7/6; ambos intervalos-base del temperamento de los seguidores del samio. Tanto que 7/6 no es más que la expresión de una Octava+Cuarta; es decir = 2+1/3 = 7/3 = (12/6+2/6). De lo que habríamos de interpretar 7/6 como una forma nacida de la Cuarta = (1 - 1/3). Otro tanto le ocurre a las fracciones 8/9, 8/7 y 28/27, que igualmente aparecen en las afinaciones pitagóricas, pero con arreglo a una fórmula general de hallarlas; es decir en base a Octava = 1/2; y el resto de las once notas = (3/4 · 11) ; para las que habremos de multiplicar cada dos veces por 2, con el fin de ir situándolas en igual Escala.
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Finalmente incluyo otros dos ejemplos que expresa Ptolomeo y que recoge esquemáticamente Pedro Redondo Reyes en las páginas 186 y 187 de su traducción. En ellos podremos observar las longitudes en los géneros Diatónico Ditonal y Diatónico Suave. Afinaciones que vemos bajo estas líneas y junto a la fotografía de un curioso jarro etrusco del siglo VII a.C. (en el que aparece lo que asemeja un tocador de cítara).
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Unos "modos", que se basan en los intervalos siguientes:
-Diatónico Ditonal: (9/8) y (9/8) ó bien (9/8) y (10/9); y (256/243) junto a (16/15).
-Diatónico Suave: (9/8) y (9/8) o bién (8/7) y (10/9) ; y (256/243) junto a (20/21).
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Todo lo que nos lleva a concluir que los dos géneros no son más que variaciones sobre unas mismas bases, fraccionadas de distintos modos; pero que realmente no tienen mucho que ver con la armonización total de la octava. Ya que entre ellas no hay una "razón" de Escala (una fórmula general para todas sus notas); sino más bien se trataría de consideraciones particulares acerca de las distancias que debieran guardar estas -razonadas desde el punto de vista matemático, pero no tanto desde el armónico musical, partiendo de una Octava unificada bajo una sola fórmula-.
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SOBRE ESTAS LINEAS: Junto a un curioso jarro etrusco hallado en Cerveteri, fechado hacia el 670 a.C. y actualmente propiedad del Martin von Wagner Museum (de Wurzburg) -al que agradecemos nos permita divulgar la imagen-. Hemos situado dos modos más que recoge en tablas Pedro Redondo Reyes, en su traducción de la obra de Ptolomeo. Sus intervalos a mi juicio no serían más que variaciones o especulaciones sobre los originarios sistemas pitagóricos (el enarmónico, y el clásico -cromático-). Un sistema impuesto por el samio y sus discípulos, que igualmente termina conteniendo múltiples razones, pero en el que su fórmula es solo una: Octava = 1/2 y 2; y cada una de las notas = 3/4 de la anterior Quinta. De lo que (3/4 · 11) o bien 4/3, rectificado -para situarlo en misma Escala-, es la fórmula única de hallar los tonos. Todo lo que confiere múltiples distancias entre unos y otros; una vez tenida la Octava completa, puesta en órden y al calcular los intervalos entre todos.
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BAJO ESTOS PÁRRAFOS: De nuevo destacamos una imagen ampliada de este jarro etrusco -propiedad del Museo von Wagner de Wurzburg, agradeciendo a esa intitución nos permita divulgarla-. He tomado la fotografía hace unos días desde los archivos de la Sra. Tina Frigeiro (quien investiga junto al prof. Leonardo de Melis). Deseando estudiarla minuciosamente, pues al analizarla he podido observar como este objeto, que a simple vista parece una "cítara" (o un formix de siete cuerdas). Más bien resulta un posible instrumento de viento, cercano a un "órgano portátil" y que sabemos se fabricaban, con un funcionamiento similar a las gaitas.
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Pues si observamos la cítara, desde su parte baja derecha, veremos que existe una "pipeta", que bien pudiera tratarse de la "flauta de carga de la bolsa de gaita". Todo ello, he querido mostrarlo con líneas y flechas sobre la foto, describiendo el funcionamiento posible de este instrumento -que a mi juicio pudiera tratarse de un pequeño "portátil", de los muchos que hubo en la Antigüedad-. Cuya base acústica sería rellenar de aire el pellejo y apoyarlo contra el cuerpo; con lo que el simple peso entre la "cítara" y el torso, actuaría como fuelle permanente, produciendo la salida de viento y el sonido. Tras ello, un roncón (como los de la gaita y que parece la "pipeta trasera" antes mencionada) emitiría un tono contínuo; lo que genera un tipo de armonía constante al mantener una nota mayor y más grave -tal como realiza el gaitero-. Mientras, con la mano contraria se pulsarían cuerdas o teclas, que abrirían las "flautas", dejando sonar en cada caso una nota (tubos que quizás se abriesen en este caso, a través de presionar sobre lo que parecen cuerdas, pero que bien pueden ser tiras de cuero, o cintas tensadas).
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Muy de destacar en el diseño del instrumento pintado en el jarro que, es el mango que sale por detrás de la cítara (sin más explicación que la de ser una flauta de carga). Por lo demás, ha dos sonidos dibujados -como olas-, uno delante y otro más fuerte, trás él (a modo de viento), lo que indicaría que la pipeta trasera sería a más de un "hinchador", un roncón para mantener la referida "nota fuerte". Además ha de tenerse en cuenta, la extraña forma de instrumento; que hace parecer más bien un ingenio metálico y que bien pudiera estar formado por tubos y no por cuerdas. Llamando mucho la atención el "peto" que lleva el citareo, haciendo sospechar se trata de un instrumento de gran peso, quizás propulsando su sonido al colgarlo del cuello, presionando ello una bolsa de piel -que bien pudiera ser el referido peto, o estar situada entre el cuerpo del músico y la "enorme lira"-. Por todo cuanto considero se trata de un "portatil" a modo de gaita con forma de cítara; uno de los muchos tipos de esos "organillos" que se fabricaron en la Antigüedad y que aparecen hasta la Edad Media (sobre todo en España).
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CAPÍTULO 2º:
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Lo intitula Ptolomeo como: "De la utilización del canon junto con el instrumento denominado ´helicón`" (6) . Parte en la que nos explica de una "forma geométrica", como son los intervalos representados en un cuadrado; figura que primero corta por su mitad (en dos secciónes: Media y diagonal) y luego divide de igual manera, en dos cuartos -ver dibujo del helikón en foto más abajo-. Tras ello nos dirá literalmente el modo en que se explican los intervalos desde este punto de vista matemático; opinando los sabios que el alejadrino sigue:
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"exponen un cuadrado ABGD, y tras dividir en dos AB y BD en E y Z , unen AZ y BHG , y trazan, paralela a AG a través de E, EQK , y a través de H, LHM . Por ello, entonces, AG es el doble tanto de BZ como de ZD, e incluso cada una de éstas, de EQ, ya que AB lo es de AE; de modo que también AG es el cuádruple de EQ, y sesquitercia de la restante, QK. (...) , si son extendidas cuatro cuerdas de igual tensión en las mismas posiciones de las rectas AG, EK, LM y BD; si es colocada bajo ellas una regla en la posición de AQHZ si son asignados los números 12 a AG, 9 a QK , 8 a HM, 6 tanto a BZ como a ZD, y, a su vez, 4 a LH y 3 a EQ, culminan todas las consonancias y el tono, al constituirse la cuarta en la razón 4:3 por AG y QK , por HM y ZD y por LH y QE; la quinta, también en la razón sesquiáltera por AG y HM, por QK y ZD y por BZ y LH ; la octava también en la razón doble, por AG y ZD , por HM y LH y por BZ y QE ; la octava más cuarta, en la razón de 8 a 3, por HM y QE; la octava más quinta, también en la razón triple, por AG y LH; la doble octava, también en la razón cuádruple, por AG y EQ, e incluso el tono en la razón 9:8, por QK y HM" (7).
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El párrafo anterior -recogido integramente en cita (7)- , quizás nos pudiera resultar un tanto enrevesado; aunque no es tan difícil de comprender observando lo que expresa sobre cada linea y llevándolo al dibujo del Helikón (que tenemos abajo, en la siguiente imagen, encabezado por un "kouros" con un aro). Pero para una mayor simplificación, diremos que se traduciría o interpretaría del siguiente modo:
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En las proporciones del "helikón" (ver bajo estos párrafos), unas líneas cortan -o se unen- con otras; existiendo una serie de constantes (fundamentalmente del doble, 1/3, 2/4, 1/4 y etc). Ello hace que si les diéramos valor a las longitudes de los trazos, se deberían traducir a números como: 12, 9, 8, 6, y 3 (12 = AG ; 9 = QK ; 8 = HM ; BZ = 6 y ZD= 6 ; LH = 4 ; EQ = 3). De tal manera, sin en lugar de lineas, fueran cuerdas iguales y regularmente tensadas, tendrían un sonido conforme a los intervalos -o temperamentos- que a continuación definimos:
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- OCTAVA = 1/2 (y 2) : AG y ZD , por HM y LH y por BZ y QE
- CUARTA = 4/3 : AG y QK , por HM y ZD y por LH y QE
- QUINTA = 3/4 : AG y HM, por QK y ZD y por BZ y LH
- Octava+Cuarta = 1+4/3: en la razón de 8 a 3, por HM y QE
- Octava+Quinta = 1+3/4: en la razón triple, por AG y LH
- Doble Octava = 1,2,4 : AG y EQ
- Tono de 9/8 = 2+1/4 : QK y HM
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Como podremos ver, en el análisis de Ptolomeo, me llama poderosamente la atención que dos líneas no se citen y que son la diagonales (BG y AZ). Cuyos valores han de ser lo siguientes (si consideramos AG=12, y, BZ=6):
AZ = 13,416... = Ѵ180
BG = 16,970.... = Ѵ288
Por lo demás, creo es una pena que Ptolomeo no dedicase algunos párrafos más a estudiar las proporciones de estas dos lineas diagonales (BG) y (AZ) y su relación con el resto. Habida cuenta que desde ellas se obtienen números que relacionan la trigonometría con los intervalos de la Octava. Como son:
- BG : AG = Ѵ2 = 2coseno de 45º e intervalo del LA# con respecto del DO.
- AZ : AG = Ѵ5/4 = corte de "fi" sobre la circunferencia (R y 2R)
- BG : AZ = Ѵ8/5
Habiendo dejado el sabio alejandrino sin analizar -igualmente- las relaciones entre los triángulos interiores existentes; como los formados por:
-(LB)+(LH)+(HB) correspondiendo a (4 y 4); hipotenusa (HB) = 5,65...= Ѵ32
-(HB)+(HZ)+(ZB) correspondiendo a: Ѵ32 + Ѵ20 + 6
-(AH)+(GH)+(AG) correspondiendo a: Ѵ80 + Ѵ128 + 12
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Todo lo anterior muestra que quizás un estudio más profundo del Helikón podría llevarnos a razones filosóficas de la armonía, un tema que dejaremos para otros artículos. Debiendo centrarnos hoy en el análisis de la obra de Ptolomeo, quien a continuación muestra otro dibujo (muy semejante) y sobre el cual el sabio también interpreta la Octava con sus distancias; diseño al que denominaban Paralelograma.
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EL PARALELOGRAMA: (en la imagen segunda bajo estos párrafos -en una fotografía antigua de la Gran Pirámide-)
Tras demostrar los intervalos a través del "helikón", pasa el alejandrino a hacerlo a través de un Paralelograma, que igualmente podemos ver representado abajo. Un método muy semejante y que explica con las frases: "paralelograma ABGD, y considerásemos AB y GD como los límites de pulsación cuerdas, y AG y BD las notas extremas de la octava y de las cuartas; si después, tras haber añadido a GD una distancia igual, DE, seccionásemos ante las reglas el lateral GD con las razones propias de los géneros, suponiendo en E el extremo agudo si a través de las secciones resultantes en ella trazásemos cuerdas paralelas a AG e iguales en tono entre sí, y, hecho esto, extendiémos bajo ellas el puente que será común a las cuerdas en la posición que une los puntos A y E, es decir, AZE , produciremos todas las longitudes de las cuerdas en las mismas razones, de modo que será posible el examen de las razones asignadas a los géneros" (8) .
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La exposición anterior es igualmente "densa" (por no decir de difícil comprensión) aunque en verdad lo que simplemente nos vuelve a decir es que si AB (alfa-beta) y GD (gamma-delta) son la longitud de una cuerda en su octava (de DO a DO). De ello, que AG (alfa-gamma) y BD (betta-delta), serían su Cuarta; lo que supone 3/4 de su tamaño. Si a esta Octava GD (gamma-delta) se le añade un doble de su cantidad, igual a DE (delta-epsilón); los puentes que hacemos trazando dos líneas -una ZE (zetta-espsilón) y otra XZ (xi-epsilón)-; atendiendo a las mismas razones de 1/2, 1/4, 1/3 en las divisiones del paralelograma. Se verán iguales intervalos a los antes demostrados -Todo lo cual creemos no hace falta repetir, habida cuenta que es simplemente una versión casi igual del anterior esquema geométrico para representar los cortes de los intervalos-.
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SOBRE ESTAS LINEAS: En la parte alta; pintura en cerámica negra helena fechada hacia el 500 a.C. -que se considera es Ganímedes-, propiedad del Louvre (museo al que agradecemos nos permita divulgar la imagen). Bajo este cuadro de un chico con una circunferencia, hemos recogido a "quimera" geométrica que presenta Ptolomeo y denominada "Helicón" (y que recoge Pedro Redondo Reyes en su página 189). Un esquema que pretende proyectar a través de lineas, el valor de los intervalos; por ello, en principio se trata de un cuadrado dividido por la mitad dos veces: En vertical y en diagonal (trazos verde oscuro y claro). Tras lo que se secciona de nuevo en cuartos, con otras dos líneas a esa distancia (que he marcado en rojo y granate). El resultado geométrico, es una representación de los intervalos, tal como más arriba ya hemos explicado.
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Por lo demás, aprovechamos la preciosa imagen de un jóven con un aro y un ave en la mano, para decorar esa figura que el alejandrino denomina "Helikón"; habida cuenta que esta voz procedería del termino heleno "Helike" (hélice), en griego "circular, girar", "darle vueltas". Pues considero que la escena pintada en cerámica no representa a Ganímedes (tal como normalmente se considera) sinó a un simple kourós (chico) junto a la circunferéncia; a la que se uniría el huevo primigenio. Quizás teniendo esta imagen "costumbrista" y no mítica, más bien un carácter iniciático; ya que el huevo -dado por las aves- estaba muy unido al círculo y al origen de la vida (hemos de pensar que en el 500 a.C. no había llegado el gallo vulgar o de corral a Grecia, por lo que el ave dibujada probablemente se trate de una gallínácea africana). Por último añadiremos, que de ser una escena mitológica, más bien podría representar a Zagreo con sus juguetes, antes de ser atacado por los Titanes. Auque en verdad me inclino a considerarlo una alegoría del joven que maneja el aro (juego que representa el giro de la vida) y que sostiene el huevo (como principio de existencia); todo ello como símbolo del eterno circular (la "helike"), tal como la Via Láctea realiza.
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BAJO ESTOS PÁRRAFOS: Sobre una preciosa foto de la Gran Pirámide de Giza, del archivo del Museo de Brooklin, correspondiente a la Lantern Slide Collection (a los que agradecemos nos permitan divulgar la imagen). Hemos recogido el Paralelograma en el cual también Ptolomeo explica los intervalos (dibujo tomado exactamente de la página 191 del libro de Redondo Reyes -al que agradecemos nos permita incluirla en nuestras anotaciones-). En párrafos anteriores ya hemos analizado el funcionamiento y la explicación de este paralelograma, como referencia de los intervalos en forma muy semejante al Helikón anterior.
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CAPÍTULOS: III; IV y V:
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El capítulo tercero, se intitula: "De las formas en las primeras consonancias"; estando incluido entre las páginas 192 y 193 de la traducción de Redondo Reyes. En este, el autor grecorromano simplemente explica las formas de intervalos, exponiendo que las distancias entre unas y otras notas, son lo que determinará que esta longitud entre tonos sea de Primera, Segunda, Tercera, Cuarta y etc. Comentando algo tan sencillo, como el hecho de que cuando hay una nota intermedia su "distancia" es de "segunda", cuando tiene dos es de "tercera" y así sucesivamente. Siendo el modo mejor de dividir y de comprender la Octava (para Ptolomeo), el de dos "interludios" de Cuarta -conforme justifica y razona, pues para él la Cuarta es la esencia misma de la armonía (tras la Octava)-. Pese a todo, hemos de tener muy en cuenta que lo que Considera Ptolomeo una Cuarta es una distancia entre tonos completos, es decir: Del "DO" al "SOL" (como naturales). Mientras en un sistema de doce notas (con semitonos), desde el "DO" habríamos de contar hasta el "MI" para tener cuatro intervalos intermedios ("DO", "DO#", "RE", "RE#", MI); habiendo otros dos más, hasta llegar al "SOL" -nota que nos propone como mejor armónico con el "DO"; para comprenderlo recomendamos ver importante cita numerada como (8-b) -.
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En el capítulo siguiente, Ptolomeo hablará del "más perfecto uso" de afinación, siendo su epígrafe: "Del sistema perfecto, y que sólo es tal la doble octava" (9) . Escribiendo el alejandrino que: "Se llama "sistema perfecto" (...) un sistema la octava (por cierto que parecía ésta autosufieciente a los antiguos) más cuarta, la octava más quinta y la doble octava; pues cada uno de ellas está contenida por dos o más consonancias. Pero en cuanto a la segunda, sólo sería un sistema perfecto la doble octava, pues sólo en ella están todas las consonancias con las formas expuestas". Es decir, que para Ptolomeo tan solo son perfectas las notas que proporcionalmente sean 1/2, 3/4, 2/3, o bien el doble de la inicial -o primera-. Entrando en el "eterno problema" que venimos tratando, en el cual los métodos pitagóricos de afinación no se consideraban perfectos ya que tras hallar las notas, no regresaban a un mismo valor (su doble, o mitad). De tal modo, considera Ptolomeo que tan solo serían perfectos aquellos que llegasen a un mismo tono (igual a multiplicar o dividir por dos el inicial) sin tener que repetir la octava. Todo lo cual -como sabemos- ha sido la piedra angular en la Historia de las afinaciones y los temperamentos; un problema que -al parecer- por primera vez se comienza a resolver matemáticamente en la Italia del Renacimiento y con sistemas como el del español Francisco Salinas (que logra dar con un procedimiento practicamente proporcional al moderno, "igualmente regulado").
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Tras ello, llegamos al capítulo quinto que titula:"Cómo son adoptadas las denominaciones de las notas respecto a la posición y a la función" (10) . Donde el sabio alejandrino escribe: "Aún a la octava más grave y a la más aguda, y centro de todas, en algunas ocasiones las nombramos según la posición misma, sencillamente lo más agudo o lo más grave: Mese común mencionada a las dos octavas, proslambanómeno , la más grave, y nete del tetracordio añadido la más aguda; después, las que van tras la proslambanómeno ascendentemente hasta la mese, hípate del tetracordio inferior, parípate del tetracordio inferior, lícano del tetracordio inferior, hípate del tetracordio medio, parí-pate del tetracordio medio y lícano del tetracordio medio; y las que van tras la mese, igualmente, hasta la nete del tetracordio añadido, paramese, trite del tetracordio disjunto, paranete del tetracordio disjunto, nete del tetracordio disjunto, trite del tetracordio añadido y paranete del tetracordio añadido".
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De esta manera describe y define las notas Ptolomeo, con los nombres de: 1Mese, 2proslambanómeno, 3nete del tetracordio añadido, 4hípate del tetracordio inferior, 5parípate del tetracordio inferior, 6lícano del tetracordio inferior, 7hípate del tetracordio medio, 8parí-pate del tetracordio medio y 9lícano del tetracordio medio; 10paramese, 11trite del tetracordio disjunto, 12paranete del tetracordio disjunto, 13nete del tetracordio disjunto, 14trite del tetracordio añadido y 15paranete del tetracordio añadido. Quince notas, que en verdad no son más que siete más siete, unidas por la central a la que llama Mese (o media). Todo lo cual demuestra y muestra que el sabio de Alejandría no trabaja más que con una "octava doble" de tonos completos, e ignora los semitonos; tanto como las afinaciones del tipo pitagórico. Temples griegos mucho más complejos y perfectos, enseñados por la escuela del samio desde mediados del siglo VI a.C. y que contenían -como sabemos- doce notas; de las cuales siete eran tonos y las cinco restantes, semitonos.
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SOBRE ESTAS LINEAS: Junto al grabado del "hombre vitruviano" de Robert de Flud, hemos incluido el nombre de las notas. Este dibujo a imagen y semejanza del de Leonardo, fue la primera página de la famosa obra del científico-esotérico inglés, titulada "Atque Técnica" ("historia de la técnica" publicada en 1618). En él vemos al hombre como centro de la creación y sobre el Zodiaco -en el "infracosmos" rodeado del "suprauniverso"-. Bajo este, he situado las quince notas de Ptolomeo y su posible equivalencia en nuestro sistema moderno musical (pues realmente, lo que propone el alejandrino, no es más que una "doble-Octava").
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ABAJO: En una segunda imagen muy parecida -inferior- y junto al mismo grabado, he incluido los quince tonos y su posible equivalencia con los planetas. Como decimos, la última parte del tratado musical Armónica no llegó hasta nuestros días, siendo seguramente destruido (ya que contenía un estudio donde se pretendía unir la astronomía y la astrología, con la teoría musical). Johanes Kepler quiso terminarlo, tal como hemos explicado en anteriores artículos, llegando a determinar el sonido de cada planeta. Sea como fuere -en mi consideración-, Mese habría de tenerse por una nota intermedia igual o proporcional a la tomada de inicio y final en la Escala (es decir, entre el SI y el DO, en el caso de la notación moderna). De tal modo, creo que la referida Mese representaría la Tierra (inmóvil para Ptolomeo) y sería el único semitono a tener en cuenta; de "libre elección" conforme al temperamento que elijamos -entre los que el geógrafo nos presenta docenas de métodos-.
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Evidentemente en este punto hemos de plantearnos si habría una profunda regresión entre la teoría músical que Ptolomeo enseña y las existentes en Grecia en etapas muy anteriores. Puesto que las notas difundidas por escuelas -como la pitagórica- fueron doce y no dos series de siete, más una central (tal como presenta el geógrafo de Alejandría). Por todo cuanto no nos extraña nada que musicólogos de la importancia de Rafael Pérez Arroyo -siguiendo a investigadores de la talla de Hickman- afirmen que las Escalas antiguas eran heptatónicas. Algo que parece evidente al leer Armónica de Ptolomeo, donde se expresa una formula de Escala para cuya consecución se realiza dos series enteras de notas naturales (olvidando los semitonos).
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Es decir, que para el de Alejandría la Octava -traducida a nuestro sistema- sería: "DO", "RE", "MI", "FA", "SOL", "LA", "SI" //-"DO"-// "RE", "MI", "FA", "SOL", "LA", "SI", "DO".
O bien: "DO", "RE", "MI", "FA", "SOL", "LA", "SI" //"MESE"// "DO", "RE", "MI", "FA", "SOL", "LA", "SI".
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Sea como fuere, el sistema es muy básico y bastante primario, sin resolver una armonización de la Octava; tanto que no llega a presentar ni "la razón" general de sus Escalas, ni menos una relación de tonos y semitonos (con sus motivos de consonancia). Ello lleva pensar que Ptolomeo recoge las corrientes existentes en su época, que ya habrían decaido en un manierismo matemático, olvidando siquiera la síntesis de la armonía que tan facilmente expresa la temperación pitagórica (llevada a cabo de un modo tan sencillo como lo es multiplicar cada nota por 3/4, once veces). Un sistema atribuido a Pitágoras en el que, los siete tonos se interpretaban como los siete planetas y los cinco semitonos restantes, como las órbitas irregulares de cinco de ellos (Marte, Mercurio, Júpiter, Venus y Saturno). Ya que se consideraba que el Sol y la Luna carecían de estos "epiciclos" o rotaciones inversas -tal como se vieron los movimientos cósmicos, al considerar que la Tierra permanecía inmóvil-. Aunque en el caso Ptoloméico y con una teoría que tan solo observa siete tonos, no habría problema para comprender que cada nota fuera un astro. Sin necesidad siquiera de explicarnos el por qué del semitono o los epiciclos sinódicos; tal como sucedía con las Escalas pitagóricas, de doce (donde hubieron de considerar por ejemplo, que si Marte simbolizaba al DO; el DO# era el mismo planeta en su segunda órbita; observada como distinta, cuando la Tierra se situaba en un lugar opuesto, debido a la traslación).
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Por todo lo que decimos, lo que más parece es que Ptolomeo consideraría MESE como la Tierra y el resto de tonos (siete de un lado y siete del otro) serían los planetas, con sus dos diferentes órbitas. Es decir, creyendo que la Luna y el Sol, también tienen también epiciclos -giros de dos tipos-; por lo que todos ellos se representarían con una duplicidad representada en dos series de tonos. Todos menos la Tierra, que al permanecer inmóvil y en el centro, sería la referida "Mese". No pudiedo nosotros comprobar totalmente dicha teoría, habida cuenta que la parte última del tratado ptoloméico se perdió (o se destruyó, habida cuenta que se refería a astrología y astronomía, y su relación con la música). Creo personalmente que la interpretación que debiéramos dar a esta idea de las quince notas de Ptolomeo es la que expreso, considerando así las correspondencias del siguiente modo:
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- Mese (media) = TIERRA 
- Nete del T.A. y Likano del T.M. = LUNA
- Paranete del T.A. y Parípate del T.M = MARTE
- Trite del T.A. y Hípate del T. M. = MERCURIO
- Nete del T. D. y Likano del T.I. = JÚPITER
- Paranete del T.D. y Paripate del T.I. = VENUS
- Trite del T.D. y Hipate del T.I. = SATURNO
- Paramese y Proslambanómeno= SOL
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-Para los nombres completos de cada nota, consultar cita (12)-
Siendo una posible reconstrucción a nuestra notación de sus valores la siguiente (partiendo desde un "MI" de 82,5 Hz tocado en la 6ª cuerda):
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
4- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
5- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
6- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
7- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
8- Nota MESE:....330 mm. ..............//................ 165 hertzios = MI
9- (440 · 4/3) = 586,66 :2 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 :2 Hz// = FA#
10- (391,11 · 4/3) = 521,481 :2 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 :2 Hz//= SOL#
11- (347,65 · 4/3) = 463,533 :2 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 :2Hz //= LA#
12- (660 · 4/3) : 2 = 440 :2 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 :2 Hz. // = SI
13- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11 :2mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 :2Hz //= DO#
14- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 :2 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 :2Hz/ = RE#
15- Nota final:....165 mm. ..................//................... 330 hertzios = MI
.

.
SOBRE ESTAS LINEAS: Moneda de plata en cuyo reverso podemos ver una lira -tetradracma acuñado en el siglo IV a.C. en Olinto (capital Liga Calcídica)-. Bajo ella he situado el valor que tendrían las notas en la citara de Ptolomeo, siguiendo su primera hipótesis de notación. Ello, traducido a la sexta cuerda de la guitarra y suponiendo que pudiera medir dos veces su tamaño (hasta los 1320 milímetros); de lo que una cítara Poloméica contendría los siguientes intervalos que vemos (debiendo pulsarse cada nota en el milímetro que marcamos). Afinando la referida lira en quince notas, que en verdad son solo dos series de siete.
.
BAJO ESTOS PÁRRAFOS: De nuevo bajo la misma moneda de plata en cuyo reverso podemos ver una lira -tetradracma del siglo IV a.C. de Olinto-. Otras dos hipótesis de afinación en sistemas ptolomeico; en este caso siguiendo las pautas iniciales mencionadas por el autor alejandrino. Primero la anteriormente recogida, aunque considerando "MESE" una nota existente entre "SI" y "DO" (entre 440 y 660, igual a 550). La siguiente y en azul, es la hipótesis segunda que nos presenta Ptolomeo en su capítulo primero (ya analizado). Para saber cuanto medirían las notas en cada caso durante las quince notas, bastará con multiplicar los valores en rojo por dos; o bien dividir por dos, los azules -pues su medida es la del doble o la mitad de ellas y en el mismo orden, completándose así la lista-. 
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ESTE ARTÍCULO CONTINÚA EN una segunda parte, que se hallará en mi página
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...........................................................................................
CITAS:
(1): LIBRO SEGUNDO (capítulos)
1.Cómo también a través de la percepción serían tomadas las razones de los géneros habituales.
2.De la utilización del canon junto con el instrumento denominado monocorde
3.De las formas en las primeras consonancias.
4.Del sistema perfecto, y que sólo es tal la doble octava.
5.Cómo son adoptadas las denominaciones de las notas respecto a la posición y a la función.
6.Cómo la magnitud conjunta de octava más cuarta tuvo la consideración de sistema perfecto.
7.De las modulaciones según los llamados tonos
8.Que es necesario que los tonos extremos sean delimitados
9.Que es necesario suponer sólo siete tonos, en igual número que las formas de la octava.
10.Cómo podrían establecerse mejor los excesos entre los tonos.
11.Que no es necesario incrementar los tonos por semitono.
12.Del difícil uso del canon monocorde.
13.De lo que Dídimo el músico propuso modificar en el canon.
14.Exposición de los números que hacen la sección de la octava en el tono odulante y en cada uno de los géneros.
15.Exposición de los números que hacen las secciones de los géneros habituales en los siete tonos.
16.De lo que se toca a la lira y cítara.

.
 
(2): Pedro Redondo Reyes // La Harmónica de Claudio Ptolomeo: edición crítica con introducción, traducción y comentario // 2014 InterClassica - Universidad de Murcia.
.
(3): "Creación, temperación e improvisación" Angel Gómez-Morán Santafé Páginas 33 y ss. del libro LA VOZ Y LA IMPROVISACIÓN (FUNDACIÓN JOAQUÍN DÍAZ, Urueña 2008).
.
(4): Op. Cit. (2) Lib. II. 1; pag 185 .
.
(5): Hipótesis en las teorias de los tetracordios:
.
Primera hipótesis
COLUMNA 1ª
"Nete"................ "MI" ........... 330 mm.
Intervalo = 7/6
"Paranete"..... ¿do#;re?....... 385 mm.
Intervalo = 8/7
"Paramese"........."SI"? ........ 440 mm.
Intervalo: sin definir por Ptolomeo
(nota anterior a Paramese)
"Trite" ................. "DO"?....... 419,21 mm.
COLUMNA 2ª
Intervalo: sin definir por Ptolomeo
"Epsilon" ............"SOL"?..... 575,3 mm.
Intervalo = 7/6
"FI"..................... ¿mi;re? ..... 335,591 mm.
Intervalo = 8/7
"Eta"................... ¿do;re? .......383,53 mm.
Intervalo: sin definir por Ptolomeo
"Zetta".............. ¿do;do#?...... 403,84 mm.
.
Segunda hipótesis
COLUMNA 1ª
"Nete" (A) .............. "MI" ........... 330 mm.
Intervalo = 7/6
"Paranete" (B) .... ¿do#;re?....... 385 mm.
Intervalo = 8/7
"Paramese"(D) ......."SI"? ........ 440 mm.
Intervalo: sin definir por Ptolomeo
(nota anterior a Paramese)
"Trite" (G)............... "DO"?....... 419,21 mm.
COLUMNA 2ª
Intervalo: sin definir por Ptolomeo
"E" (épsilon) ......... "RE#"........ 341,73 mm.
Intervalo = 9/8
"FI"..................... ¿do#;re? ..... 384,44 mm.
Intervalo = 8/7
"Zetta"....................... "SI"............. 440 mm.
Intervalo = 28/27
"Eta"................... ¿si;la#? ........ 456,29 mm.

.
(6): (pag 189 y ss. en la traducción de Pedro Redondo Reyes).
.
(7): Párrafo completo (pag 189, traducción Pedro Redondo Reyes).
"exponen un cuadrado ABGD, y tras dividir en dos AB y BD en E y Z , unen AZ y BHG , y trazan, paralela a AG a través de E, EQK , y a través de H, LHM . Por ello, entonces, AG es el doble tanto de BZ como de ZD, e incluso cada una de éstas, de EQ, ya que AB lo es de AE; de modo que también AG es el cuádruple de EQ, y sesquitercia de la restante, QK. Y se muestra también que MH es el doble de HL, puesto que, como DG es respecto a GM, así es DB respecto a HM; y como BA es respecto a AL, así es BZ respecto a LH; por esto, como BD es respecto a HM, así es BZ respecto a LH; y al contrario, como BD es respecto a BZ, así es MH respecto a LH. Resulta entonces AG también sesquiáltera de HM y triple que HL, de modo que, si son extendidas cuatro cuerdas de igual tensión en las mismas posiciones de las rectas AG, EK, LM y BD; si es colocada bajo ellas una regla en la posición de AQHZ si son asignados los números 12 a AG, 9 a QK , 8 a HM, 6 tanto a BZ como a ZD, y, a su vez, 4 a LH y 3 a EQ, culminan todas las consonancias y el tono, al constituirse la cuarta en la razón 4:3 por AG y QK , por HM y ZD y por LH y QE; la quinta, también en la razón sesquiáltera por AG y HM, por QK y ZD y por BZ y LH ; la octava también en la razón doble, por AG y ZD , por HM y LH y por BZ y QE ; la octava más cuarta, en la razón de 8 a 3, por HM y QE; la octava más quinta, también en la razón triple, por AG y LH; la doble octava, también en la razón cuádruple, por AG y EQ, e incluso el tono en la razón 9:8, por QK y HM"
.
(8): Op. Cit. (2) (pag 190 y 191)
.
(8-b): Multiplicando por CUARTAS (4/3) y comenzando desde "MI" (que identifico con Mese) veremos en la continuación del artículo (segunda parte) como las notas quedan del siguiente modo marcado en este esquema; logrando obtener siete y no completando el diapasón -es decir que no se llega al mismo punto, tal como sucede por Quintas; sinó que la séptima Cuarta nos llevaría a 618,044 mm.; muy alejado de 660 mm. -:
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
.
(9): Op. Cit. (2) (pag 193 y 194)
.
(10): Op. Cit. (2) (pag 195 y ss)
.
(12): : 1Mese, 2proslambanómeno, 3nete del tetracordio añadido, 4hípate del tetracordio inferior, 5parípate del tetracordio inferior, 6lícano del tetracordio inferior, 7hípate del tetracordio medio, 8parí-pate del tetracordio medio y 9lícano del tetracordio medio; 10paramese, 11trite del tetracordio disjunto, 12paranete del tetracordio disjunto, 13nete del tetracordio disjunto, 14trite del tetracordio añadido y 15paranete del tetracordio añadido.

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