AFINACIONES EN LA ANTIGÜEDAD segunda parte (sencilla explicación a los Temperamentos) -Capítulo del 12 al 13: HISTORIA DE LOS TEMPERAMENTOS-

ESTA ES LA SEGUNDA PARTE Y CONTINUACIÓN DEL ARTÍCULO. LA PRIMERA PODRÁN ENCONTRALA EN MI PÁGINA.

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ARRIBA: Imagen de un mapa de las islas del Egeo, publicado por Abraham Ortelius en 1598 (con un grabado de Christopher Platin). Entre los piélagos se distinguen claramente como primeras atolones: Lesbos y Samos; islas de las que procede gran parte de la teoría y filosofía música Griega. Lugares muy unidos al mundo lidio-fenicio y micenio (por su situación en la Jonia -aunque lesbos sea eólica-). Fue esta zona costera de Anatolia, la que más conservaría el influjo creto-chipriota y púnico. Por todo ello podemos considerar las culturas que se desarrollan en ese área, como herederas del mundo neohitita (frigio) y micenio (cretense); pero sobre todo influidas por Egipto y por Fenicia -distando de Tiro y Sidón apenas unas jornadas en barco-. Tanto es así que la escuela de astrónomos samios se formó en Alejandría -en su biblioteca-, algo similar a lo que realizó el mismo Pitágoras (del que se sabe obtuvo gran parte de sus conocimientos estudiando primero en Canaán y -mas tarde- en el Nilo y en Babilonia). Bajo el mapa antiguo de estas islas egeas, hemos añadido el listado de la afinación enarmónica (en milímetros y en hertzios, sobre la cuerda sexta de la guitarra).
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D) EL MÉTODO COMBINADO, LLAMADO ENARMÓNICO Y ATRIBUIDO A TERPANDRO DE LESBOS:

Se cree fuera Terpandro de Lesbos el iniciador de este tipo de afinación, debiendo pensarse que este sistema (tan cercano al usado por los pitagóricos) es muy posterior al de Pitágoras -al unir dos procesos y estar más depurado-. Ello supone, que la fórmula de Quintas y Cuartas (que enseñaban los pitagóricos) es anterior o más antigua, todo lo que parece evidente al ser más simple y por estar calculada con un procedimiento mucho más sencillo. Surgiendo un problema al reflexionar sobre Terpandro, que precede al samio en casi siglo y medio; todo lo que evidencia que estos métodos de temperar eran simples técnicas importadas hasta el Egeo, desde otras culturas y de lejanas tierras. Como estilos o formas de ver la música, que quizás habían pervivido milenios en civilizaciones muy anteriores, ya que por su sencillez pudieron haber sido inventadas en la "noche de los tiempos".
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Tanta es la relación de los temperamentos antes analizados y el que estudiaremos en este epígrafe, que muchos historiadores consideran a Terpandro un pitagórico y el iniciador del enarmonismo. Un hecho que no puede ser cierto, pues ello contiene un anacronismo de más de un siglo y medio. Ya que Pitágoras se supone nace en Samos hacia el 550 a.C.; mientras Terpandro lo hizo en Antisas, unos ciento cincuenta años antes. Pese a ello, en el error de catalogar al de Lesbos como pitagórico es tan común como comprensible; tanto que nosotros mismos hemos "caido" en definirlo así, ya que la afinación enarmónica desciende de la de Pitágoras. Ello porque hubieron de ser anteriores las fórmulas simples de Quintas y Cuartas (antes vistas), a esta otra que une ambos parámetros, creando una fórmula bastante más compleja (y de mayor armonía).
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Como sabemos, consistían los procedimientos clásicos -pitagóricos- en multiplicar o dividir por 3/4 once veces, hallando las Quintas y Cuartas. Pero este tercero llamado enarmónico, mezclaba los dos procesos. Algo que lleva a pensar fue una "fusión" esas de "dos formas" anteriores. Quizás consistiendo en un método fenicio que uniera el egipcio y el mesopotamio; o simplemente de un modo egeo, que igualmente integrase dos sentidos diferentes de templar (aunque muy parecidos: Por Cuartas y Quintas). La diferencia entre los tres métodos es muy fácil de comprender, ya que el pitagórico clásico consistía en multiplicar sucesivamente por 3/4 (hallando las Quintas) y el otro (de Cuartas), dividir un mismo número de veces por 3/4. Mientras el enarmónico -atribuido a Terpandro- es una combinación de ambos. De tal manera, tras buscar Quintas cinco veces (multiplicando por 3/4), regresa al punto de partida (el "MI" inicial -en este caso-) desde donde divide por 3/4 en otras seis ocasiones; obteniendo seis Cuartas. Todo ello, genera primero cinco Quintas, que junto al Tono inicial conforman seis notas; a las que se suman las otras seis Cuartas en sentido inverso. Doce tonos que conforman el diapasón del siguiente modo:
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Primero: Multiplica por QUINTAS (3/4):
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,5 hertzios = MI
1a- (660 · 3/4) = 495 mm......... // ......... (82,5 : 3/4) = 110 Hz. // = LA
2a- (495 · 3/4) = 371,25 mm. .. //.,,,,, (110 : 3/4) = 146,66... Hz // = RE
3a- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. //(146,6 : 3/4) :2 = 97,77 Hz// = SOL
4a- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // .. (97,77 : 3/4) = 130,37 Hz// = DO
5a- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,37 : 3/4) ·2 = 86,91 Hz// = FA 
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Después: Multiplica por CUARTAS (4/3):
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
1b- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
2b- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3b- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
4b- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
5b- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
6b- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
Carece de posibilidad de Quinta del Lobo, lo cual evidencia la perfección que tiene.
NOTA FINAL:.( 660:2) 330 mm. ..............//........ (82,5 : 2) = 164,8 Hz. = MI
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EL RESULTADO DE ESTAS NOTAS, UNA VEZ ORDENADAS ES MUY ARMÓNICO Y QUIZÁS EL QUE MÁS SE ACERCA AL IGUALMENTE REGULADO (EL MODERNO). SIENDO SU RELACIÓN DE TONOS ORDENADOS:
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//........................ 82,5 hertzios = MI
5a- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,37 : 3/4) ·2 = 86,91 Hz// = FA
2b- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
3a- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. //(146,6 : 3/4) :2 = 97,77 Hz// = SOL
4b- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
1a- (660 · 3/4) = 495 mm......... // ........... (82,5 : 3/4) = 110 Hz. // = LA
6b- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
1b- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
4a- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // .. (97,77 : 3/4) = 130,37 Hz// = DO
3b- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
2a- (495 · 3/4) = 371,25 mm. .. //.,,,,, (110 : 3/4) = 146,66... Hz // = RE
5b- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
NOTA FINAL:.( 660:2) 330 mm. ..............//........ (82,5 : 2) = 164,8 Hz. = MI
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Sin lugar a dudas, parece que pudo ser este el método de Terpandro, pues como vemos reduce en el segundo caso la escala a diatonismo puro, dejando el diapasón en dos secciones de seis notas y diferenciándose todas en un tono completo. Siendo así, comprende una Octava de siete Tonos claros y primeros que se correspondería con los que se dice inventó el de Lesbos y que se trataría de las últimas seis "Cuartas". Seis sonidos que unidos al tono inicial, darían una Escala con estos valores que a continuación recogemos (en su orden, de menor a mayor):
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,5 hertzios = MI
2b- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,75 : 4/3) = 92,81 Hz // = FA#
4b- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,21 : 4/3) = 104,41 Hz // = SOL#
6b- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,62 : 4/3 ) = 117,46 Hz // = LA#
1b- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,5 : 4/3) ·2 = 123,75 Hz. // = SI
3b- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // (92,81 : 4/3)·2 = 139,21 Hz // = DO#
5b- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,41 : 4/3)·2 = 156,62 Hz// = RE#
NOTA FINAL:.( 660:2) 330 mm. ..............//........ (82,5 : 2) = 164,8 Hz. = MI
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Se corresponden estos intervalos a los que Ptolomeo considera como "sistema perfecto" basados en un sucesión de Cuartas Justas (en multiplicar por 4/3) y desde ello procedería ya un tipo de escalas de ocho notas, absolutamente definida y con un pentafonismo perfectamente armónico. Todo lo cual a mi juicio hubo de generar los distintos sistemas griegos de templar, con Octavas de siete notas (tal como hemos visto) y que olvidarían el método pitagórico de doce y con semitonos. Medios tonos que para Ptolomeo y muchos de los teóricos de la armonía griegos y romanos debían erradicarse (dado que impedían a la nota Mese, que fuera justa y distinta ... -según afirmaba el alejandrino; sin realmente poder dar mayor justificación a esta "peregrina idea" de prescindir de los semitonos-). Siendo así, pasamos ya al siguiente epígrafe en el que estudiaremos el problema de las escalas griegas de ocho notas (la Octava), tal como Ptlomeo y otros tantos la exponen y plantean.
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ARRIBA: En el centro, la portada de mi pequeño estudio sobre temperamentos presentado y publicado hace unos seis años por la Fundación Joaquín Díaz. Junto a esta, las diferentes afinaciones; de derecha a izquierda y de arriba, abajo: El temperamento moderno (con igual intervalo entre notas). A su lado el sistema de Terpandro o enarmónico. Debajo, la pitagórica por Quintas, conocido como método clásico; y finalmente, el temperamento por Cuartas, dividiendo por 3/4. En el cuadro podremos comparar la cercanía de todos los valores.

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ABAJO: Grabado de una de las páginas de la HARMONÍA UNIVERSAL, de Marin Mersenne (1639), en este vemos una "sordelina", llamada "museta", instrumento italiano que divulgó en este tiempo el fabricante de ingenios musicales Michele Todini (coetáneo de Mersenne). Quien situaba al mismo Polifemo -al que Ovidio representa tocando una flauta de pan para atraer a Galatea- sentado en una roca tocando la sordelina. Extraña gaita del siglo XVII, italiana, con teclado y un fuelle a modo de un acordeón; que se hizo común entre los músicos no profesionales italianos. La sordelina de Todini creemos que se relacionaría con la posible gaita que esconde el "heptacordio" del museo Wagner (en imagen arriba), pues lleva lo que se denomina "roncón"; que se trata de un tubo (un "drone" bajo, con un sonido permanente que actúa armonizando continuadamente). Por su parte diremos, que la supuesta innovación técnica de Michele Todini fue incluirle un sistema de teclado, que le convertía practicamente en un órgano portátil (para más información ver: http://luxaeterna-musik.blogspot.com.es/2010/01/el-clavicordio-de-oro-de-michele-todini.html. )

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Junto a la sordelina de Mersenne hemos incluido los valores de las siete notas hallados por Cuartas -descendentes- en el sistema enarmónico. Como podemos ver, son muchos de ellos "sostenidos" -en nuestros valores- y se encuentran separados la mayoría de ellos, por un tono completo; tras hallarlos dividiendo por 3/4 -sucesivamente y seis veces-. Resultando una escala casi perfectamente diatónica, cuyos intervalos entre las notas son de un tono entero a excepción de dos: Entre el "LA#" y el "SI" y entre el "RE#" y el "MI". Estas dos notas (semitonal e inicial), son las que Ptolomeo llama "MESE" ("MI") y "NETE" ("SI"), de las que depende la igualdad de la escala diatónica. De tal modo, el alejandrino niega el semitono para que todas tengan una igual longitud, intentando perfeccionar la Octava que podemos ver en este resultado por Cuartas; donde los intervalos son 9/8, menos en el caso de "SI" y "MI", que tienen con su anterior nota 256/243. Una fracción que analizada, veremos se corresponde a 2 elevado a la octava, partido por 3 elevado a la quinta (28 : 35)
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Lo que hemos explicado nos hace comprender el modo de ver la Octava por autores de la época de Ptolomeo, que la concebían solo de siete notas y prescindiendo del medio-tono (procurando todos los intervalos exactos, y pretendiendo hacer lo que se logró con Lambda, pero en una Escala de siete notas). Ello supone buscar ajustes por doquier, para que este sistema diatónico encaje o se ajuste; cálculos entre los cuales destacaba, comenzar la Octava desde una nota distinta; ya que el resultado será muy diferente -tal como vemos a continuación-. 

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D) LAS SIETE NOTAS GRIEGAS HALLADAS POR QUINTAS (ASCENDENTES) O POR CUARTAS (DESCENDENTES):
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Habíamos visto como Ptolomeo consideraba el "sistema perfecto" la Octava más cuarta; todo lo que significa ir encontrando las notas simplemente multiplicando por 2/3 (ó bien por 4/3, que resulta lo mismo, pues tras obtener los valores han de situarse todos en una misma Escala -doblándolos o reduciéndolos a su mitad-). Por lo demás, el mismo autor alejandrino afirmará varias veces y a lo largo de su obra ("Harmónica") que los medios tonos desvirtúan la Octava, pudiéndose construir tan solo Escalas de siete notas y perfectamente enteras... . Expresando una mentalidad musical tan atrasada como rígida; siendo la que aparentemente los teóricos de la armonía habían desarrollado ya durante siglos en Grecia y más tarde en Roma, no admitiendo muchas otras reglas para establecer los sonidos acordes. Dejando reducida a la expresión de un "do-re-mi-fa-sol-la-si-do" las posibilidades melódicas, lo que expresa una verdadera regresión musical histórica -ya que como hemos visto el método de Pitágoras o el de Terpandros, alcanzaba doce notas-.

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Siendo así, el primer paso del enarmonismo, multiplicando por 4/3 seis veces -que he transcrito desde el "MI" de la sexta cuerda (ver imagen arriba)- sería ya un "sistema perfecto" para los teóricos que preconizaban estas ideas, sin precisarse hallar más tonos. Pese a ello, tendrían que intentar igualar los desarreglos que se producen, buscando otros modo más simples de hallar esta Escala de siete notas enteras. Probando primero hacerlo a través de Quintas ascendentes, es decir: Multiplicando por 3/4 -lo que desde el "MI" de la sexta en la guitarra resulta obtener las siete primeras notas de igual forma al método pitagórico clásico-. Es decir:

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Multiplicar por QUINTAS seis veces x (3/4):
 
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA

2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE

3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL

4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO

5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA

6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
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LO QUE PUESTO EN ORDEN SERÍA:
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO
2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE
NOTA final:...660/2 = 330 mm // (82,406 · 2) = 164,812 Hertzios = MI
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Demuestra lo expuesto, junto a la lista arriba incluida, que con este sistema se consigue una sucesión de siete notas enteras más o menos bien reguladas (una escala diatónica igual a la de Cuartas). Teniendo como error tan solo en que tras el "LA" viene un semitono "LA#", faltando llegar al "SI" una distancia más equitativamente repartida. Pese a ello es igual a la que guardan en la Octava por Cuartas. Siendo los intervalos existentes los siguientes:
Entre el "MI" y "FA" :........ 256/243 = (28 · 35 )
Entre el "FA" y "SOL": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "SOL" y "LA": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "SOL" y "LA": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "LA" y "LA#": ...... 256/243 = (28 · 35 )
Entre el "LA#" y "DO": ........ 1,125 = 9/8
Entre el "DO" y "RE": ......... 1,125 = 9/8
Entre el "RE" y "MI2": ......... 1,125 = 9/8
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Pese a ello, y como las Escalas varían conforme la nota desde la cual se comienza; vamos a probar otra Octava obtenida por Cuartas (ascendentes, o Quintas) multiplicando esta vez seis veces por 3/4 y empezando desde un "DO".
Comenzando desde "DO" por QUINTAS y seis veces x (3/4):
 
NOTA INICIAL "DO": 417,65625 mm // 130,21 Hz// = DO
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA

6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#

7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#

8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#

9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#

10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
TODO LO QUE ORDENADO ES:
NOTA INICIAL "DO": 417,65625 mm // 130,21 Hz// = DO
9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA
10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
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Observando el resultado anterior, se comprende por qué en Grecia ya se considera un "Tono" o "Modo" diferente, conforme se comience a templar desde una nota distinta; ya que la Octava va a ser siempre otra. Bastando ver lo que sucede si multiplicamos seis Quintas (ascedentes) desde el "MI" o desde un "DO", cuyo resultado es siempre obtener Octavas muy distintas. Tanto que en el primero nos encontaríamos con:
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"MI", "FA", "SOL", "LA", "LA#", "DO", "RE"
 
 
Y en el segundo con:
"DO", "DO#", "RE#", "FA", "FA#", "SOL#", "LA#"
Logrando así siete Escalas (Tonos) tan diferentes, como distintas en sus temperamentos. Ya que en el primer caso aparece el "LA" y tras este el "LA#", junto a un "MI" al lado de un "FA" (es decir dos semitonos y cuatro tonos). Mientras en el segundo vemos "DO" y "DO#"; "FA" y "FA#" (igualmente dos semitonos y cuatro tonos enteros, pero ya indistintamente ordenados). Todo ello sería lo que motivó -a mi juicio- que según la nota de origen, se considerase un "Modo" o "Tono" distinto (tal como menciona Ptolomeo y como en nuestro siguiente epígrafe veremos). Generando en Grecia un centenar de métodos para temperar; entre los que el alejandrino recoge al menos cinco decenas y otras tantas de "géneros" y de "sistemas" aconsejados por distintos matemáticos (sumergiendo a la música en un sinfín de Escalas y en un verdadero atraso musical, que solo observaría el medio para buscar Octavas igualmente afinadas, pero de siete notas) .
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ARRIBA: Xilografía del siglo XV perteneciente a un libro de astronomía, en la que vemos representado a Ptolomeo con un sextante. A su lado he situado las siete notas tal como las encontraríamos por Quintas y con el sistema pitagórico (multiplicando por 3/4, desde el "MI" de la "sexta", en la guitarra). Como podemos ver, los intervalos son muy semejantes a las Cuartas (descendentes) ya que multiplicando por 4/3 seis veces y desde el mismo "MI" se obtienen dos tipos de intervalos y justos: Cinco de 9/8 y dos de 256/243 (estos últimos entre las notas que Ptolomeo denominaba Mese y Nete, que yo identifico con nuestro "MI" y "SI" -respectivamente-).
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ABAJO: Grabado de Alejandría publicado por el Geographical Dictionary (Londres 1756) donde vemos el Faro del rey Ptolomeo, quien dio nombre al geógrafo y tratadista de música del cual tratamos. Bajo este precioso dibujo iluminado hemos incluido los intervalos de una hipotética "lira de Ptolomeo" tal como la concebía; en dos series de siete notas y con una notación "traducida" a nuestros valores. Para hallarla hemos utilizado el sistema de Cuartas Justas, considerado por el alejandrino como Sistema Perfecto; aunque -como observamos- existe un pequeño error en ellas, al contenerse dos semitonos o longitudes desiguales. Pues todas las notas se diferencian en 9/8; menos el "SI" y el "MI", que contienen un intervalo la anterior de (256 : 243) = (162 : 34). Siendo estas dos las que Ptolomeo denominaría "Nete" (que traduzco como "SI") y Mese (que entiendo como "MI").
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E) EL RESULTADO DE LOS "TONOS" SEGÚN COMENCEMOS A TEMPERAR DESDE NOTAS DISTINTAS:
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En el epígrafe anterior hemos visto como una Escala de siete notas, cambiaría si se comienza a calcular por Cuartas o Quintas, desde una nota u otra. Ello es lo que en la Grecia se llamaron los "Modos", que posteriormente pasan a confundirse o a denominarse "Tonos"; y finalmente, a mezclarse con los "Géneros". Al ir complicando sus posibilidades debido a los consejos de los "armónicos" (matemáticos dedicados de crear nuevas escalas y de justificar distintos tipos de notas o intervalos). Siendo el comienzo de todo ello el problema que se nos plantea elegir la nota desde la que se inicia la temperación por Cuartas o Quintas (para llegar a los siete tonos). Todo lo que hemos visto antes, en el ejemplo cuando observábamos las diferecias de comenzar en "MI" o en "DO". Unos hechos que vamos a explicar más detenidamente, y en todos los casos; comenzando por la Octava de siete notas encontrada usando el método enarmónico (inverso):
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a) Escala de siete notas, hallada por Cuartas (descendentes):
 
Habíamos visto que la Octava desde "MI" multiplicando por 4/3 era:
NOTA INICIAL:....660 mm. ..............//................ 82,406 hertzios = MI

1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,406 : 4/3) ·2 = 123,609 Hz. // = SI

2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#

3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#

4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#

5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#

6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#
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PERO EMPEZANDO DESDE EL "SI", QUEDAN LAS SIGUIENTES NOTAS:
1- (660 · 4/3) : 2 = 440 mm. // (82,406 : 4/3) ·2 = 123,609 Hz. // = SI

2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#

3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#

4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#

5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#

6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#

7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA
.
DESDE EL "FA" LAS SIGUIENTES NOTAS:
2- (440 · 4/3) = 586,66 mm. // (123,609: 4/3) = 92,706 Hz // = FA#

3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#

4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#

5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#

6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#

7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA

8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO
.
DESDE EL "DO#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
3- (586,66 · 4/3) : 2 = 391,11mm // 92,70 : 4/3)·2 = 139,06 Hz // = DO#

4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#

5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#

6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#

7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA

8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO

9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL
.
DESDE EL "SOL#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
4- (391,11 · 4/3) = 521,481 mm. // (139,06: 4/3) = 104,29 Hz // = SOL#

5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#

6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#

7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA

8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO

9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL

10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE
.
DESDE EL "RE#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
5- (521,48 · 4/3) : 2 = 347,65 mm// (104,29 : 4/3)·2 = 156,44 Hz// = RE#

6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#

7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA

8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO

9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL

10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE

11- (366,25 · 4/3) = 488,33 mm // (148,65 : 4/3 ) = 111,37 Hz // = LA
.
DESDE EL "LA#" LAS SIGUIENTES NOTAS:
6- (347,65 · 4/3) = 463,533 mm // (156,44 : 4/3 ) = 117,33 Hz // = LA#

7- (463,533 · 4/3) = 618,044 mm // (117,33 : 4/3 ) = 87,99 Hz // = FA

8- (618,044 · 4/3):2 = 412,02 mm // (87,99 : 4/3 )·2 = 131,99Hz // = DO

9- (412,02 · 4/3) = 549,36 mm // (131,99 : 4/3 ) = 98,99Hz // = SOL

10- (549,36 · 4/3) = 366,25 mm // (98,99 : 4/3 )·2 = 148,49 Hz // = RE

11- (366,25 · 4/3) = 488,33 mm // (148,65 : 4/3 ) = 111,37 Hz // = LA

12- (488,33 · 4/3) = 651,106 mm // (111,37 : 4/3 ) = 148,49 Hz // = MI 
.
Ello es lo a mi juicio denominarían las fuentes clásicas como "Modos", entre los que distinguen originalmente siete y que Ptolomeo nombra como: Dorio, Frigio, Lidio, Mixolidio, Hipolidio, Hipofrigio, Hipodorio. Todo lo que se complica cuando vemos que los distingue a su vez (en el Libro II cap. 16 de Harmónica) como:
1. Mixolidio desde la nete // 2. Lidio desde la nete // 3. Frigio desde la nete // 4. Dorio desde la nete // 5. Hipolidio desde la nete // 6. Hipofrigio desde la nete // 7. Hipodorio desde la nete // 8. Mixolidio desde la mese // 9. Lidio desde la mese. // 10. Frigio desde la mese // 11. Dorio desde la mese // 12. Hipolidio desde la mese // 13. Hipofrigio desde la mese // 14. Hipodorio desde la mese //.
Siendo la variación de siete por dos (catorce Tonos) seguramente debida a que pudieran calcularse por Quintas o por Cuartas (al menos a mi entender). Pues si intentamos hallar las siete notas multiplicando por 3/4 (en Quintas) el resultado será muy distinto al anterior, tal como en el siguiente epígrafe explico:

.
b) Las siete notas halladas por Quintas (ascendentes):
 
 
Catorce Tonos o Modos que pueden entenderse si observamos qué pasaría al hacer lo mismo que hemos realizado (calcular las escalas partiendo en cada caso desde una nota), pero esta vez en sentido inverso. Es decir buscando siete Quintas, o multiplicando por 4/3. Todo lo que resultaría:

.
EMPEZANDO DESDE EL "MI" (tal como vimos):
 
NOTA INICIAL:...660 mm. ............//...................... 82,406 Hertzios = MI
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA

2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE

3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL

4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO

5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA

6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#
.
EMPEZANDO DESDE EL "LA":
1- (660 · 3/4) = 495 mm. // (82,406 : 3/4) = 109,87 Hz. // = LA

2- (495 · 3/4) = 371,25 mm // (109,87: 3/4) = 146,499 Hz // = RE

3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL

4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO

5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA

6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#

7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#
.
EMPEZANDO DESDE EL "SOL":
3- (371,25 · 3/4) · 2 = 556,875 mm. // (146,49 : 3/4) :2 = 97,66 Hz// = SOL

4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO

5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA

6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#

7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#

8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#

9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#
.
EMPEZANDO DESDE EL "DO":
4- (556,875 · 3/4) = 417,65625 mm // (97,66 : 3/4) = 130,21 Hz// = DO

5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA

6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#

7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#

8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#

9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#

10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#
.
EMPEZANDO DESDE EL "FA":
5- (417,65 · 3/4) · 2 = 626,48 mm // (130,21: 3/4) : 2 = 86,8 Hz// = FA

6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#

7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#

8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#

9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#

10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#

11- (594,65· 3/4)·2 = 445,98 mm // (91,44: 3/4) = 121,92 Hz// = SI
.
EMPEZANDO DESDE EL "LA#":
 
6- (626,48 · 3/4) = 469,86 mm // (86,8 : 3/4) = 115,7 Hz// = LA#

7- (469,86· 3/4) = 352,39 mm // (115,7 : 3/4) : 2 = 154,31 Hz// = RE#

8- (352,39· 3/4) · 2 = 528,58 mm // (154,31 : 3/4) : 2 = 102,87Hz// = SOL#

9- (528,58· 3/4) = 396,435 mm // (102,87 : 3/4) = 137,16 Hz// = DO#

10- (396,43· 3/4)·2 = 594,65 mm // (137,16 : 3/4) : 2 = 91,44 Hz// = FA#

11- (594,65· 3/4)·2 = 445,98 mm // (91,44: 3/4) = 121,92 Hz// = SI

12- (445,98 · 3/4) = 334,485 mm // (121,92 : 3/4) = 162,56 Hz// = MI

.

.
c) Conclusión:
 
Con estos pequeños ejemplos, traducidos a nuestra notación y usando la cuerda sexta de la guitarra (como monocordo) creemos que habremos podido comprender algunos hechos en la música antigua, tanto como la complejidad de sus planteamientos. Unos principios que debieron caer en el manierismo más absoluto en tiempos clásicos y en los grecorromanos (aritmético, filosófico y de cálculo), olvidando el sistema antiguo de templar, tan sencillo como justo: Hallando simplemente doce notas por Quintas o por Cuartas. Tanto fue así, que sus extraños casos de "ethes" (razonamientos de ética matemática) para justificar cada Octava, nos hacen casi imposible entender qué significaban las infinitas fórmulas para encontrar esa multiplicidad de Modos, Generos o Tonos para afinar -al vivir nosotros bajo un sistema moderno de Escalas, entendiendo la música con una Octava única e igualmente regulada-.

Esperando poder haber aclarado con este artículo a nuestros lectores, la razón, los motivos y de algún modo, lo que pudieron ser los temperamentos grecorromanos. Afinaciones qué en tiempos de Ptolomeo (quizás ya de la Grecia Clásica) habían caido en un manierismo matemático, con el que tan solo pretendía "cortar la escala" en ocho partes "éticas" (razonables y expresadas desde el punto de vista geométrico, aritmético o filosófico...). Pasaremos en nuestro próximo artículo a terminar el análisis del libro de Ptolomeo (Harmónica).

.

.
SOBRE Y BAJO ESTAS LINEAS: Grabado en el que se representa el puerto de Alejandría, perteneciente a la obra: CIVITATES ORBIS TERRARUM (por Braun Georg, 1541-1622). Bajo este hemos incluido la lista de Modos según comenzásemos por una nota o bien si los buscáramos por Quintas y por Cuartas; en él he incluido la posibilidad de que cada caso fuera un "Modo" y numerando cada nota como pneuma (alfa,betta, gamma etc y hasta siete).
.


ESTE ARTÍCULO TIENE UNA PRIMERA PARTE, PARA QUIENES NO LA HAYAN CONSULTADO RECOMENDAMOS VERLA EN MI PÁGINA.

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