Antiguas vasijas guardan el secreto sobre las mediciones matemáticas en tiempos bíblicos

Una vasija fenicia globular de Tel Megiddo, con una circunferencia máxima externa de 29,2 dedos y un volumen de 0,53 hekat (E. et al Zapassky / Tel Aviv de la Universidad).

Vía: Science Daily | American Friends of Tel Aviv University | 4 de junio de 2012 (Traducción: G.C.C. para Terrae Antiqvae)

Arqueólogos de la región del Mediterráneo oriental han sido sacado a la luz jarras esféricas utilizadas por los antiguos para almacenar y comercializar aceite, vino y otros productos valiosos.

Dado que usamos el sistema métrico decimal, que define las unidades de volumen basándose en el cubo, los arqueólogos creen que los comerciantes de la antigüedad sólo podían evaluar de modo aproximado la capacidad de estas jarras redondas, dice el profesor Itzhak Benenson (izquierda) del Departamento de Geografía de la Universidad de Tel Aviv.

Ahora una colaboración interdisciplinaria entre el profesor Benenson y el profesor Israel Finkelstein (derecha), del Departamento de Arqueología y Culturas Antiguas del Próximo Oriente en la Universidad de Tel Aviv, ha puesto de manifiesto que, lejos de confiar en sus aproximaciones, los comerciantes tenían mediciones precisas de sus mercancías, y, por lo tanto, sabían con exactitud cuánto debían cobrar a sus clientes.

Los investigadores descubrieron que los antiguos idearon convenientes sistemas matemáticos para determinar el volumen de cada recipiente. Su teoría es que los propietarios y los usuarios de las jarras medían sus contenidos a través de un sistema que unía las unidades de longitud con las unidades de volumen, posiblemente mediante el uso de una cuerda que medía la circunferencia del contenedor esférico y determinaba la cantidad exacta de líquido en su interior.

El sistema, que los investigadores creen fue desarrollado por los antiguos egipcios y utilizado en el Mediterráneo Oriental aproximadamente entre 1.500 y 700 a.C., fue dado a concocer recientemente en la revista PLoS ONE. El descubrimiento forma parte del proyecto "Reconstrucción del Antiguo Israel" financiado con el apoyo de la Unión Europea.

Foto: Típicas vasijas egipcias de cerveza

Modelos en 3D desvelan el sistema de medición del volúmen

El sistema de medida se reveló cuando la especialista en matemáticas, Elena Zapassky, construyó modelos en 3D de jarras de Tel Megiddo -una importante ciudad estado cananea y centro de administración israelita- mediante una base de datos. Las jarras están asociadas con los fenicios, los antiguos comerciantes por mar que tenían centros mercantiles a lo largo de la costa del Líbano. Utilizando una metodología estadística, el equipo midió cientos de recipientes de la excavación y descubrieron algo sorprendente: grandes grupos de estas jarras de forma esférica o elíptica tenían una circunferencia similar. Esto llevó a los investigadores a analizar en mayor profundidad cómo los antiguos medían el volumen.

La unidad egipcia del volumen se llama 'hekat', y equivale a 4,8 litros en las mediciones actuales, explica el Dr. Yuval Gadot (izquierda) un investigador del proyecto. Una jarra esférica que tiene 52 centímetros de circunferencia, y que equivale a un codo real egipcio, contiene exactamente la mitad de un 'hekat'.

"En un gran porcentaje de las vasijas que medimos la circunferencia se encuentra cerca de un codo, y el comerciante podía saber que el volumen de la vasija tenía medio 'hekat' con sólo medir la circunferencia", dice.

Cuando los investigadores adoptaron el sistema egipcio de medición, en lugar de pensar en unidades métricas, muchas cosas se aclararon. Por ejemplo, en los altos y redondos jarros 'torpedo', embarcados en naves fenicias en el siglo VIII a. C., se encontró que contenían unidades enteras de 'hekat'. El Dr. Gadot cree que el sistema egipcio de medición fue desapareciendo gradualmente cuando los asirios conquistaron la región, trayendo con ellos sus propios métodos de medición.

Una medida del poder político

Según el profesor Finkelstein, los elementos de estandarización de medidas en el mundo antiguo mantienen su interés, ya que son indicativos de los sistemas burocráticos y reflejan las influencias políticas y culturales. "El uso del método egipcio es un fuerte indicador del poder egipcio en esta región durante un período específico de tiempo", explica.

"Al trabajar conjuntamente con expertos en matemáticas y estadística, hemos sido capaces de proporcionar nuevas soluciones a problemas y debates arqueológicos mantenidos desde hace mucho tiempo".

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Etiquetas: Finkelstein, Israel, Itzhak Benenson, hekat, hekat", matemáticas", mediciones, mediciones matemáticas, vasijas

Comentario por Luis Castaño Sánchez el junio 10, 2012 a las 6:22am

Estimado Sr. Guillermo Caso de los Cobos:

 

Deseo agradecerle personalmente la publicación de este artículo en Terrae Antiquae con este comentario. Me ha ayudado a comprobar una vez más la validez de un estudio que tengo realizado sobre antiguos sistemas de medición. Como aportación a la página comentar que si bien las medidas facilitadas en el artículo no son completamente inexactas sí lo es el armazón teórico sobre el que se sustentan. Desearía poder extenderme sobre el particular pero dicha información forma parte de mi investigación. Por último añadir que actualmente estoy buscando algún especialista que me ayude a dar forma al contenido de mi investigación para poder publicarlo en Archivo Español de Arqueología o Arqueología de la Arquitectura.

 

Atentamente. Luis Castaño.

 

Comentario por Guillermo Caso de los Cobos el junio 10, 2012 a las 4:37pm

Me alegra que le haya gustado y servido el post, Sr. Luis.

Sin embargo, nos deja Ud. en ascuas sobre la posible inexactitud de la teoría que al respecto han ofrecido los arqueólogos. ¿Podría, al menos, decirnos brevemente en qué consiste el fallo? He leído entero el trabajo que tienen los arqueólogos publicado en  PLoS ONE (por cierto, está en abierto y puede leerlo cualquiera, cosa que recomiendo, dado su interés) y, la verdad, lo encuentro muy consistente y bien fundamentado. No obstante, quizá haya otras opiniones, como la suya, basadas en alguna investigación, que puedan aportar alguna novedad. Espero, en cualquier caso, que, cuando pueda, nos la haga saber.

Un saludo cordial

Comentario por Luis Castaño Sánchez el junio 10, 2012 a las 5:39pm

Estimado Guillermo:

 

Sinceramente desearía poder extenderme sobre el particular. De hecho hace ya varios meses que estoy deseando dar a conocer públicamente el contenido de mi investigación pero se me presentan varios problemas.

 

El primero de ellos, como explicaba en mi primer comentario, es que nunca he publicado artículo alguno en revistas como las citadas y me queda algo grande. De ahí que lleve un tiempo buscando algún especialista que me ayude a darle forma cumpliendo las normas de dichas revistas. Mañana llamaré al CSIC (Madrid) y a la SEAV (Sevilla) para hacer nuevos intentos. Y si conoce de algún especialista que pudiera ayudarme en esto le estaría muy agradecido.

 

Otro problema añadido es la extensión. En este mes de Junio hace un año del inicio de mi investigación que ocupa actualmente 6 carpetas de material. Los artículos de dichas revistas han de tener una extensión máxima de unas 15/20 páginas. Sinceramente no deseo resumir el contenido a base de dejar de lado algo de lo descubierto pero por otro lado me veo incapaz de comprimir todo el contenido en dicha extensión.

 

Con respecto al trabajo de que hablamos no dude de que antes de realizar mi primer comentario lo había leído en su totalidad. (Afortunadamente, por mi formación, tengo buen nivel tanto en inglés como en francés.) Y sí, el trabajo es muy consistente y fundamentado pero sigue habiendo ciertos errores de fondo (errores que, por otra parte, son comunes en muchos de los artículos sobre metrología que he podido analizar en estos 12 meses).

 

Atentamente,

 

Luis Castaño.

 

 

Comentario por Guillermo Caso de los Cobos el junio 10, 2012 a las 6:53pm

Lamento no poder ayudarle, Sr. Luis. No conozco a especialistas en la materia hasta el punto de solicitarles un trabajo como el que me pide. No obstante, me pregunto si no ha pensado en la posibilidad de escribir su trabajo de investigación como libro y publicarlo en internet. Hay muchas webs que lo hacen gratis. Sería una buena opción si le fallan todas las demás. En cualquier caso, le deseo suerte en su objetivo. Y no se olvide de avisarnos de su publicación si lo consigue. Me pica mucho la curiosidad de ver el contenido de su investigación, dada la materia tan interesante que trata.

Saludos

Comentario por Luis Castaño Sánchez el junio 10, 2012 a las 7:25pm

Saludos de nuevo :)

 

Precisamente esta misma mañana me decía un buen amigo mío que porqué no publicaba un libro con todo el material. Y lo cierto es que sería una buena forma de poder redactar más libremente los resultados de mi investigación. En cuanto a publicarlo por Internet pues al comentarme mi amigo lo del libro recordé que otro buen amigo mío me propuso en tiempos que escribiese y publicase otro libro (de índole más personal en aquella ocasión) en Bubok así que esta misma tarde he estado echando un vistazo a esa página. Es posible que opte por ese camino. Muchas gracias tanto por sus sugerencias como por sus buenos deseos y no le quepa duda que si lo consigo le avisaré inmediatamente. 

 

Saludos.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el junio 12, 2012 a las 5:18pm

Estimado Guillermo:

Hoy puedo ya satisfacer, al menos levemente, su curiosidad. Le comento.

En Noviembre de 2011 registré en el Registro de Propiedad Intelectual la primera parte de mi investigación ("Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci"). La segunda parte de mi investigación ("Una historia de modelos humanos. Versión 29/02/12"), que databa de esa fecha, no la había registrado aún pero ya lo he hecho esta misma mañana. Me queda aún por redactar y registrar un documento que recoja los descubrimientos de la tercera parte de mi investigación (desde esa fecha del 29/02/2012 hasta hoy mismo), documento que por el momento lleva el titulo "Una historia de modelos humanos. Versión Junio 2012".

Vaya. Como siempre, ya he empezado a enrollarme (no tengo remedio jajaja). Bueno, resumiendo, que al tener ya registrada esa parte de mi investigación puedo resolver sus dudas sin ningún problema, cosa que haré muy gustosamente en el siguiente post (este ya ha salido demasiado largo).

 

Un saludo y hasta ahora mismo.

 

Luis Castaño.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el junio 12, 2012 a las 5:52pm

Bien, vayamos con el artículo:

Con respecto al articulo, el problema está en cómo se expresa la medida de la circunferencia de la vasija (me refiero a la de la imagen). Esto podrá parecer algo nimio pero implica una inexactitud que afecta abarca a la totalidad del trabajo (si no estoy equivocado, claro).

Me explico. Se dice, a la vez, que la circunferencia de la vasija mide 1) 29,2 dedos, 2) un codo real (que supuestamente son 28 dedos) y 3) unos 52 cm. Y esto no es correcto.

Un dedo (hablo del modelo original sumerio de 180, que los egipcios retoman) mide 1,8 cm. Suele decirse que una palma es el ancho de 4 dedos. De ese modo tendríamos 1,8 x 4 =7,2. Pero este cálculo no es correcto porque olvida las 3 líneas de separación entre los 4 dedos de la palma (puede usted mirar su propia palma y verá a lo que me refiero). Y cada una de esas líneas tiene una medida (0,1). Así pues 4 dedos son 7,2. Pero una palma no son 7,2 sino 7,5 (7,2+0,3=7,5).

 

Estas líneas de separación entre los dedos (que ninguno de los trabajos sobre Metrología que llevo revisados en estos 12 meses cita ni tiene en cuenta) son muy importantes porque se acumulan. El codo "normal" mide (en palmas) 6 palmas y (en cm) 45 cm. Pero (en dedos) no mide 24 dedos. Mide 24 dedos y 18 líneas de separación. Y esas 18 líneas de separación (0,1 x 18=1,8) suman "1 dedo" más. Así que tendríamos "25 dedos". Este tipo de detalles trastocan muchos cálculos que a primera vista parecen correctos.

En cuanto al codo real si hacemos el cálculo en dedos (28 x 1,8) olvidando las líneas de separación entre ellos tendríamos sólo 50,4 cm. Sin embargo calculando en palmas (1 codo real = 7 palmas) tendríamos 7 x 7,5 =52,5 cm, que es la medida correcta del modelo ideal. Así que, como ve, no es lo mismo calcular en dedos que calcular en palmas. (Y digo bien "calcular" y no "medir". Porque el error se comete ahora al calcular, no ellos cuando medían físicamente).

Con respecto a la vasija y su circunferencia de 29,2 dedos no sería razonable que utilizasen un número no-exacto de unidades (¿Cómo calcularían/medirían el 0,2?). La circunferencia de la vasija lo que mide es un codo real de 7 palmas (número exacto de unidades). O dicho de otro modo: 24 dedos del codo "normal" (43,2) + 18 separaciones entre los dedos del codo "normal" (1,8) + 4 dedos de la palma "extra" (7,2) + 3 separaciones entre esos 4 dedos de la palma "extra" (0,3) = 52,5 cm. De ese modo lo que parecen 29 dedos no son 29 dedos: son 24 dedos, 18 separaciones ("1 dedo más") y 4 dedos. Y el "0,2 de dedo" hasta los 29,2 dedos son las 3 separaciones entre los dedos de la palma "extra" (--> 1,8 x 0,2 = 0,36 cm = 3,6 mm).

 

Espero que esta breve explicación haya satisfecho su curiosidad.

 

Atentamente,

 

Luis Castaño.

 

Comentario por Luis Castaño Sánchez el junio 12, 2012 a las 5:59pm

Estimado Servan:

Me temo que no entiendo a qué se refiere. Con respecto a lo de ponerlo (lo=¿el qué?) como link me temo que aunque supiese a qué se refiere no sabría hacerlo. Soy muy muy torpe con las cosas informáticas. Quizá si me aclarase un poco más qué me pide y cómo hacer lo que me pide podría hacerlo :)

 

Muchas gracias.

Luis Castaño.

Comentario por Luis Castaño Sánchez el junio 12, 2012 a las 7:17pm

Ah, ahora le entiendo.

Bueno, es demasiado extenso como para poder subirlo (suponiendo que supiese cómo hacerlo). Lo que sí puedo hacer es comentar los puntos básicos:

1) El propio nombre de "Hombre de Vitruvio" es, en cierto modo, incorrecto. Es cierto que Leonardo intentó reflejar gráficamente el modelo vitruviano. Pero no lo consiguió. La correcta interpretación del texto de Vitruvio es otra. Resumiendo: el modelo de Leonardo no es el "Hombre de Vitruvio".

2) Mucho más correcto sería otro nombre que ha recibido dicha imagen: Canon de las proporciones humanas. Es más, dicha imagen debería ser el punto de referencia (con mayúsculas) en Metrología. (Sé bien porqué lo digo). Pero, desgraciadamente, no lo es. 

3) Con respecto a este punto (el de las proporciones) también cabe decir que la imagen ha sido estudiada siempre en función de las proporciones. Y tendría que añadir que, lamentablemente, se ha olvidado estudiarla en función de las medidas. Pues bien, el modelo de Leonardo no sólo refleja las proporciones perfectas (que por supuesto lo hace) sino que además toma como modelo un Hombre de 180.

4) Por último, cabe rebatir una supuesta "verdad" mil veces repetida y que no es tal. Se suele decir que la imagen es un perfecto ejemplo de Proporción áurea. Es más, incluso la Exposición Da Vinci El Genio celebrada hace poco en Madrid recogía dicha afirmación. Bien, pues esto no es cierto y es incomprensible que siendo tan fácil comprobar si esto era así o no al parecer nadie se haya molestado en hacerlo (al menos que yo sepa).

5) Podría profundizar más pero prefiero cerrar este comentario con un sentimiento personal. Me desespera ver que con los impresionantes descubrimientos que llevo realizados en estos 12 meses de investigación (esto que les comento es, en comparación, algo menor) aún sigo buscando especialistas que me ayuden a dar forma al contenido de mis investigaciones para poder divulgarlo en medios científicos adecuados.

 

Atentamente,

 

Luis Castaño.

Comentario por Guillermo Caso de los Cobos el junio 13, 2012 a las 3:47am

Se agradece su exposición, Sr. Luis, sobre los aspectos métricos del artículo. Ciertamente, es curioso lo de las líneas de separación entre los dedos. No había reparado nunca en ello.

Si no me equivoco, y le he entendido bien, entonces esas líneas de separación de 0,1 de medida vendrían a sustituir (o paliar), por así decir, al conjunto o resto de decimales que surgen en cada una de la divisiones que se hacen en la escala del codo real (un codo real mide 52,3 cm ó 7 palmas de 7,4 cm cada una, y cada palma mide 4 dedos de 1,8 cm cada uno) y que, si se obvian, la relación de la escala no sale exacta, dado que, como bien dice, no es lo mismo calcular en dedos que en palmas (con un sólo decimal), y, por tanto, tampoco es lo mismo calcular que medir.

Muy curioso, asimismo, por cierto, lo "Hombre de Vitrubio". Espero que, cuando pueda o sea posible, nos explique algún día algo más al respecto. Suena interesantísimo.

Como ya le dije, le deseo suerte en su objetivo.

Un saludo

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